Calcul infinitésimal Exemples

$y = x e^{- x^{2}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{- x^{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}] + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x^{2}$ .

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Étape 1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- x^{2}$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x^{2}$ .

$x (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3

Différenciez.

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Étape 1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x (e^{- x^{2}} (- 2 x)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{1} x (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{1} x^{1} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{1 + 1} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.7.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.7.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $e^{- x^{2}}$ .

$x^{2} (- 2 \cdot e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \cdot 1$

Étape 1.9

Multipliez $e^{- x^{2}}$ par $1$ .

$x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}}$

Étape 1.10

Simplifiez

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Étape 1.10.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 2 e^{- x^{2}} x^{2} + e^{- x^{2}}$

Étape 1.10.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- 2 e^{- x^{2}} x^{2} + e^{- x^{2}}$ .

$f' (x) = - 2 x^{2} e^{- x^{2}} + e^{- x^{2}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 2 x^{2} e^{- x^{2}} + e^{- x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2} e^{- x^{2}}] + \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{2} e^{- x^{2}}] + \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2} e^{- x^{2}}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x^{2} e^{- x^{2}}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x^{2}}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x^{2}}] + \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = e^{- x^{2}}$ .

$- 2 (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}] + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x^{2}$ .

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Étape 2.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $- x^{2}$ .

$- 2 (x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

Étape 2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$- 2 (x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

Étape 2.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $- x^{2}$ .

$- 2 (x^{2} (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

Étape 2.2.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 2 (x^{2} (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

Étape 2.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 2 (x^{2} (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

Étape 2.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 2 (x^{2} (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

Étape 2.2.7

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 (x^{2} (e^{- x^{2}} (- 2 x)) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

Étape 2.2.8

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.8.1

Déplacez $x$ .

$- 2 (x \cdot x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

Étape 2.2.8.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 2.2.8.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 2 (x^{1} x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

Étape 2.2.8.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 2 (x^{1 + 2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

Étape 2.2.8.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$- 2 (x^{3} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

Étape 2.2.9

Déplacez $- 2$ à gauche de $e^{- x^{2}}$ .

$- 2 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$ .

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Étape 2.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x^{2}$ .

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Étape 2.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $- x^{2}$ .

$- 2 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 2.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$- 2 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 2.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $- x^{2}$ .

$- 2 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 2.3.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 2 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 2 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + e^{- x^{2}} (- (2 x))$

Étape 2.3.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + e^{- x^{2}} (- 2 x)$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}})) - 2 (e^{- x^{2}} (2 x)) + e^{- x^{2}} (- 2 x)$

Étape 2.4.2

Associez des termes.

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Étape 2.4.2.1

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$4 (x^{3} (e^{- x^{2}})) - 2 (e^{- x^{2}} (2 x)) + e^{- x^{2}} (- 2 x)$

Étape 2.4.2.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$4 x^{3} e^{- x^{2}} - 4 (e^{- x^{2}} (x)) + e^{- x^{2}} (- 2 x)$

Étape 2.4.2.3

Déplacez $e^{- x^{2}}$ .

$4 x^{3} e^{- x^{2}} - 4 x e^{- x^{2}} - 2 x e^{- x^{2}}$

Étape 2.4.2.4

Soustrayez $2 x e^{- x^{2}}$ de $- 4 x e^{- x^{2}}$ .

$4 x^{3} e^{- x^{2}} - 6 x e^{- x^{2}}$

Étape 2.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$4 e^{- x^{2}} x^{3} - 6 e^{- x^{2}} x$

Étape 2.4.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $4 e^{- x^{2}} x^{3} - 6 e^{- x^{2}} x$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} e^{- x^{2}} - 6 x e^{- x^{2}}$