Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{2 \sin (2 x)}{1 + 9 \cos^{2} (2 x)} d x$

Étape 1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int \frac{\sin (2 x)}{1 + 9 \cos^{2} (2 x)} d x$

Étape 2

Laissez $u_{2} = \cos (2 x)$ . Alors $d u_{2} = - 2 \sin (2 x) d x$ , donc $- \frac{1}{2} d u_{2} = \sin (2 x) d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 2.1

Laissez $u_{2} = \cos (2 x)$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $\cos (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 2.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 2.1.2.2

La dérivée de $\cos (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 2.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 x$ .

$- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 2.1.3

Différenciez.

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Étape 2.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.1.3.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \cdot 1$

Étape 2.1.3.4

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 2 \sin (2 x)$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$2 \int \frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}} \cdot \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Étape 3

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Étape 3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 \int \frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Étape 3.2

Multipliez $\frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$2 \int - \frac{1}{(1 + 9 {u_{2}}^{2}) \cdot 2} d u_{2}$

Étape 3.3

Déplacez $2$ à gauche de $1 + 9 {u_{2}}^{2}$ .

$2 \int - \frac{1}{2 (1 + 9 {u_{2}}^{2})} d u_{2}$

Étape 4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$2 (- \int \frac{1}{2 (1 + 9 {u_{2}}^{2})} d u_{2})$

Étape 5

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 \int \frac{1}{2 (1 + 9 {u_{2}}^{2})} d u_{2}$

Étape 6

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$- 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}} d u_{2})$

Étape 7

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Étape 7.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 2$ .

$\frac{- 2}{2} \int \frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Étape 7.2

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Étape 7.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Étape 7.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Étape 7.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{1} \int \frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Étape 7.2.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$- \int \frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Étape 8

Factorisez $9$ à partir de $1 + 9 {u_{2}}^{2}$ .

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Étape 8.1

Factorisez $9$ à partir de $1$ .

$- \int \frac{1}{9 (\frac{1}{9}) + 9 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Étape 8.2

Factorisez $9$ à partir de $9 {u_{2}}^{2}$ .

$- \int \frac{1}{9 (\frac{1}{9}) + 9 ({u_{2}}^{2})} d u_{2}$

Étape 8.3

Factorisez $9$ à partir de $9 (\frac{1}{9}) + 9 ({u_{2}}^{2})$ .

$- \int \frac{1}{9 (\frac{1}{9} + {u_{2}}^{2})} d u_{2}$

Étape 9

Comme $\frac{1}{9}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{9}$ en dehors de l’intégrale.

$- (\frac{1}{9} \int \frac{1}{\frac{1}{9} + {u_{2}}^{2}} d u_{2})$

Étape 10

Réécrivez $\frac{1}{9}$ comme ${(\frac{1}{3})}^{2}$ .

$- \frac{1}{9} \int \frac{1}{{(\frac{1}{3})}^{2} + {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Étape 11

L’intégrale de $\frac{1}{{(\frac{1}{3})}^{2} + {u_{2}}^{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{\frac{1}{3}} \arctan (\frac{u_{2}}{\frac{1}{3}}) + C$ .

$- \frac{1}{9} (\frac{1}{\frac{1}{3}} \arctan (\frac{u_{2}}{\frac{1}{3}}) + C)$

Étape 12

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Étape 12.1

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Étape 12.1.1

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{9} (1 \cdot 3 \arctan (\frac{u_{2}}{\frac{1}{3}}) + C)$

Étape 12.1.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$- \frac{1}{9} (3 \arctan (\frac{u_{2}}{\frac{1}{3}}) + C)$

Étape 12.1.3

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{9} (3 \arctan (u_{2} \cdot 3) + C)$

Étape 12.1.4

Déplacez $3$ à gauche de $u_{2}$ .

$- \frac{1}{9} (3 \arctan (3 u_{2}) + C)$

Étape 12.2

Réécrivez $- \frac{1}{9} (3 \arctan (3 u_{2}) + C)$ comme $- \frac{1}{9} \cdot 3 \arctan (3 u_{2}) + C$ .

$- \frac{1}{9} \cdot 3 \arctan (3 u_{2}) + C$

Étape 12.3

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Étape 12.3.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- 3 (\frac{1}{9}) \arctan (3 u_{2}) + C$

Étape 12.3.2

Associez $- 3$ et $\frac{1}{9}$ .

$\frac{- 3}{9} \arctan (3 u_{2}) + C$

Étape 12.3.3

Annulez le facteur commun à $- 3$ et $9$ .

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Étape 12.3.3.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$\frac{3 (- 1)}{9} \arctan (3 u_{2}) + C$

Étape 12.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.3.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$\frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 3} \arctan (3 u_{2}) + C$

Étape 12.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 3} \arctan (3 u_{2}) + C$

Étape 12.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{3} \arctan (3 u_{2}) + C$

Étape 12.3.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{3} \arctan (3 u_{2}) + C$

Étape 13

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\cos (2 x)$ .

$- \frac{1}{3} \arctan (3 \cos (2 x)) + C$