Calcul infinitésimal Exemples

${(\sin (2 x) - \cos (2 x))}^{2}$

Étape 1

Écrivez ${(\sin (2 x) - \cos (2 x))}^{2}$ comme une fonction.

$f (x) = {(\sin (2 x) - \cos (2 x))}^{2}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int {(\sin (2 x) - \cos (2 x))}^{2} d x$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Réécrivez ${(\sin (2 x) - \cos (2 x))}^{2}$ comme $(\sin (2 x) - \cos (2 x)) (\sin (2 x) - \cos (2 x))$ .

$\int (\sin (2 x) - \cos (2 x)) (\sin (2 x) - \cos (2 x)) d x$

Étape 4.2

Développez $(\sin (2 x) - \cos (2 x)) (\sin (2 x) - \cos (2 x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int \sin (2 x) (\sin (2 x) - \cos (2 x)) - \cos (2 x) (\sin (2 x) - \cos (2 x)) d x$

Étape 4.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int \sin (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) (- \cos (2 x)) - \cos (2 x) (\sin (2 x) - \cos (2 x)) d x$

Étape 4.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\int \sin (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) (- \cos (2 x)) - \cos (2 x) \sin (2 x) - \cos (2 x) (- \cos (2 x)) d x$

Étape 4.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.1.1

Multipliez $\sin (2 x) \sin (2 x)$ .

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Étape 4.3.1.1.1

Élevez $\sin (2 x)$ à la puissance $1$ .

$\int \sin^{1} (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) (- \cos (2 x)) - \cos (2 x) \sin (2 x) - \cos (2 x) (- \cos (2 x)) d x$

Étape 4.3.1.1.2

Élevez $\sin (2 x)$ à la puissance $1$ .

$\int \sin^{1} (2 x) \sin^{1} (2 x) + \sin (2 x) (- \cos (2 x)) - \cos (2 x) \sin (2 x) - \cos (2 x) (- \cos (2 x)) d x$

Étape 4.3.1.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int {\sin (2 x)}^{1 + 1} + \sin (2 x) (- \cos (2 x)) - \cos (2 x) \sin (2 x) - \cos (2 x) (- \cos (2 x)) d x$

Étape 4.3.1.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int \sin^{2} (2 x) + \sin (2 x) (- \cos (2 x)) - \cos (2 x) \sin (2 x) - \cos (2 x) (- \cos (2 x)) d x$

Étape 4.3.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\int \sin^{2} (2 x) - \sin (2 x) \cos (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) - \cos (2 x) (- \cos (2 x)) d x$

Étape 4.3.1.3

Multipliez $- \cos (2 x) (- \cos (2 x))$ .

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Étape 4.3.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\int \sin^{2} (2 x) - \sin (2 x) \cos (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) + 1 \cos (2 x) \cos (2 x) d x$

Étape 4.3.1.3.2

Multipliez $\cos (2 x)$ par $1$ .

$\int \sin^{2} (2 x) - \sin (2 x) \cos (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) + \cos (2 x) \cos (2 x) d x$

Étape 4.3.1.3.3

Élevez $\cos (2 x)$ à la puissance $1$ .

$\int \sin^{2} (2 x) - \sin (2 x) \cos (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) + \cos^{1} (2 x) \cos (2 x) d x$

Étape 4.3.1.3.4

Élevez $\cos (2 x)$ à la puissance $1$ .

$\int \sin^{2} (2 x) - \sin (2 x) \cos (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) + \cos^{1} (2 x) \cos^{1} (2 x) d x$

Étape 4.3.1.3.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int \sin^{2} (2 x) - \sin (2 x) \cos (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) + {\cos (2 x)}^{1 + 1} d x$

Étape 4.3.1.3.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int \sin^{2} (2 x) - \sin (2 x) \cos (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) + \cos^{2} (2 x) d x$

Étape 4.3.2

Réorganisez les facteurs de $- \sin (2 x) \cos (2 x)$ .

$\int \sin^{2} (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) + \cos^{2} (2 x) d x$

Étape 4.3.3

Soustrayez $\cos (2 x) \sin (2 x)$ de $- \cos (2 x) \sin (2 x)$ .

$\int \sin^{2} (2 x) - 2 \cos (2 x) \sin (2 x) + \cos^{2} (2 x) d x$

Étape 4.4

Déplacez $\cos^{2} (2 x)$ .

$\int \sin^{2} (2 x) + \cos^{2} (2 x) - 2 \cos (2 x) \sin (2 x) d x$

Étape 4.5

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\int 1 - 2 \cos (2 x) \sin (2 x) d x$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int d x + \int - 2 \cos (2 x) \sin (2 x) d x$

Étape 6

Appliquez la règle de la constante.

$x + C + \int - 2 \cos (2 x) \sin (2 x) d x$

Étape 7

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$x + C - 2 \int \cos (2 x) \sin (2 x) d x$

Étape 8

Laissez $u_{2} = \cos (2 x)$ . Alors $d u_{2} = - 2 \sin (2 x) d x$ , donc $- \frac{1}{2} d u_{2} = \sin (2 x) d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 8.1

Laissez $u_{2} = \cos (2 x)$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 8.1.1

Différenciez $\cos (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Étape 8.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 8.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 8.1.2.2

La dérivée de $\cos (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 8.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 x$ .

$- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 8.1.3

Différenciez.

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Étape 8.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 8.1.3.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 8.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \cdot 1$

Étape 8.1.3.4

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 2 \sin (2 x)$

Étape 8.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$x + C - 2 \int u_{2} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x + C - 2 \int u_{2} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Étape 9.2

Associez $u_{2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$x + C - 2 \int - \frac{u_{2}}{2} d u_{2}$

Étape 10

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$x + C - 2 (- \int \frac{u_{2}}{2} d u_{2})$

Étape 11

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$x + C + 2 \int \frac{u_{2}}{2} d u_{2}$

Étape 12

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$x + C + 2 (\frac{1}{2} \int u_{2} d u_{2})$

Étape 13

Simplifiez

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Étape 13.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x + C + \frac{2}{2} \int u_{2} d u_{2}$

Étape 13.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 13.2.1

Annulez le facteur commun.

$x + C + \frac{2}{2} \int u_{2} d u_{2}$

Étape 13.2.2

Réécrivez l’expression.

$x + C + 1 \int u_{2} d u_{2}$

Étape 13.3

Multipliez $\int u_{2} d u_{2}$ par $1$ .

$x + C + \int u_{2} d u_{2}$

Étape 14

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u_{2}$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$x + C + \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Étape 15

Simplifiez

$x + \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Étape 16

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\cos (2 x)$ .

$x + \frac{1}{2} \cos^{2} (2 x) + C$

Étape 17

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = {(\sin (2 x) - \cos (2 x))}^{2}$ .

$F (x) =$ $x + \frac{1}{2} \cos^{2} (2 x) + C$