Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{6 x + 2}{3 x - 1}$

Étape 1

Écrivez $\frac{6 x + 2}{3 x - 1}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{6 x + 2}{3 x - 1}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{6 x + 2}{3 x - 1} d x$

Étape 4

Divisez $6 x + 2$ par $3 x - 1$ .

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Étape 4.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$3 x$

$1$

$6 x$

$2$

Étape 4.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $6 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $3 x$ .

					$2$
	$3 x$	-	$1$		$6 x$	+	$2$

Étape 4.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2$
$3 x$	-	$1$		$6 x$	+	$2$
			+	$6 x$	-	$2$

Étape 4.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $6 x - 2$

				$2$
$3 x$	-	$1$		$6 x$	+	$2$
			-	$6 x$	+	$2$

Étape 4.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2$
$3 x$	-	$1$		$6 x$	+	$2$
			-	$6 x$	+	$2$
					+	$4$

Étape 4.6

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$\int 2 + \frac{4}{3 x - 1} d x$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 2 d x + \int \frac{4}{3 x - 1} d x$

Étape 6

Appliquez la règle de la constante.

$2 x + C + \int \frac{4}{3 x - 1} d x$

Étape 7

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$2 x + C + 4 \int \frac{1}{3 x - 1} d x$

Étape 8

Laissez $u = 3 x - 1$ . Alors $d u = 3 d x$ , donc $\frac{1}{3} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 8.1

Laissez $u = 3 x - 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 8.1.1

Différenciez $3 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [3 x - 1]$

Étape 8.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 8.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Étape 8.1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 8.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 8.1.3.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 8.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 8.1.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 + 0$

Étape 8.1.4.2

Additionnez $3$ et $0$ .

$3$

Étape 8.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$2 x + C + 4 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{3}$ .

$2 x + C + 4 \int \frac{1}{u \cdot 3} d u$

Étape 9.2

Déplacez $3$ à gauche de $u$ .

$2 x + C + 4 \int \frac{1}{3 u} d u$

Étape 10

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$2 x + C + 4 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u)$

Étape 11

Associez $\frac{1}{3}$ et $4$ .

$2 x + C + \frac{4}{3} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 12

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$2 x + C + \frac{4}{3} (\ln (| u |) + C)$

Étape 13

Simplifiez

$2 x + \frac{4}{3} \ln (| u |) + C$

Étape 14

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x - 1$ .

$2 x + \frac{4}{3} \ln (| 3 x - 1 |) + C$

Étape 15

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{6 x + 2}{3 x - 1}$ .

$F (x) =$ $2 x + \frac{4}{3} \ln (| 3 x - 1 |) + C$