Calcul infinitésimal Exemples

$- 5 y + 4 x^{3} y + 2 x^{2} = 0$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (- 5 y + 4 x^{3} y + 2 x^{2}) = \frac{d}{d x} (0)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 5 y + 4 x^{3} y + 2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [4 x^{3} y] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [4 x^{3} y] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 y]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 y$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [y]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [4 x^{3} y] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Étape 2.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$- 5 y' + \frac{d}{d x} [4 x^{3} y] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{3} y]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{3} y$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{3} y]$ .

$- 5 y' + 4 \frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = y$ .

$- 5 y' + 4 (x^{3} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Étape 2.3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$- 5 y' + 4 (x^{3} y' + y \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- 5 y' + 4 (x^{3} y' + y (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Étape 2.3.5

Déplacez $3$ à gauche de $y$ .

$- 5 y' + 4 (x^{3} y' + 3 y x^{2}) + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 5 y' + 4 (x^{3} y' + 3 y x^{2}) + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 5 y' + 4 (x^{3} y' + 3 y x^{2}) + 2 (2 x)$

Étape 2.4.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$- 5 y' + 4 (x^{3} y' + 3 y x^{2}) + 4 x$

Étape 2.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 5 y' + 4 (x^{3} y') + 4 (3 y x^{2}) + 4 x$

Étape 2.5.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$- 5 y' + 4 x^{3} y' + 12 y x^{2} + 4 x$

Étape 2.5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$4 x^{3} y' + 12 x^{2} y + 4 x - 5 y'$

Étape 3

Comme $0$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $0$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$4 x^{3} y' + 12 x^{2} y + 4 x - 5 y' = 0$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1

Soustrayez $12 x^{2} y$ des deux côtés de l’équation.

$4 x^{3} y' + 4 x - 5 y' = - 12 x^{2} y$

Étape 5.1.2

Soustrayez $4 x$ des deux côtés de l’équation.

$4 x^{3} y' - 5 y' = - 12 x^{2} y - 4 x$

Étape 5.2

Factorisez $y'$ à partir de $4 x^{3} y' - 5 y'$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Factorisez $y'$ à partir de $4 x^{3} y'$ .

$y' (4 x^{3}) - 5 y' = - 12 x^{2} y - 4 x$

Étape 5.2.2

Factorisez $y'$ à partir de $- 5 y'$ .

$y' (4 x^{3}) + y' \cdot - 5 = - 12 x^{2} y - 4 x$

Étape 5.2.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' (4 x^{3}) + y' \cdot - 5$ .

$y' (4 x^{3} - 5) = - 12 x^{2} y - 4 x$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $y' (4 x^{3} - 5) = - 12 x^{2} y - 4 x$ par $4 x^{3} - 5$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $y' (4 x^{3} - 5) = - 12 x^{2} y - 4 x$ par $4 x^{3} - 5$ .

$\frac{y' (4 x^{3} - 5)}{4 x^{3} - 5} = \frac{- 12 x^{2} y}{4 x^{3} - 5} + \frac{- 4 x}{4 x^{3} - 5}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $4 x^{3} - 5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (4 x^{3} - 5)}{4 x^{3} - 5} = \frac{- 12 x^{2} y}{4 x^{3} - 5} + \frac{- 4 x}{4 x^{3} - 5}$

Étape 5.3.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 12 x^{2} y}{4 x^{3} - 5} + \frac{- 4 x}{4 x^{3} - 5}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{- 12 x^{2} y - 4 x}{4 x^{3} - 5}$

Étape 5.3.3.2

Factorisez $4 x$ à partir de $- 12 x^{2} y - 4 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.2.1

Factorisez $4 x$ à partir de $- 12 x^{2} y$ .

$y' = \frac{4 x (- 3 x y) - 4 x}{4 x^{3} - 5}$

Étape 5.3.3.2.2

Factorisez $4 x$ à partir de $- 4 x$ .

$y' = \frac{4 x (- 3 x y) + 4 x (- 1)}{4 x^{3} - 5}$

Étape 5.3.3.2.3

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x (- 3 x y) + 4 x (- 1)$ .

$y' = \frac{4 x (- 3 x y - 1)}{4 x^{3} - 5}$

Étape 5.3.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 x y$ .

$y' = \frac{4 x (- (3 x y) - 1)}{4 x^{3} - 5}$

Étape 5.3.3.4

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$y' = \frac{4 x (- (3 x y) - 1 (1))}{4 x^{3} - 5}$

Étape 5.3.3.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 x y) - 1 (1)$ .

$y' = \frac{4 x (- (3 x y + 1))}{4 x^{3} - 5}$

Étape 5.3.3.6

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.6.1

Réécrivez $- (3 x y + 1)$ comme $- 1 (3 x y + 1)$ .

$y' = \frac{4 x (- 1 (3 x y + 1))}{4 x^{3} - 5}$

Étape 5.3.3.6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{(4 x) (3 x y + 1)}{4 x^{3} - 5}$

Étape 5.3.3.6.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \frac{(4 x) (3 x y + 1)}{4 x^{3} - 5}$ .

$y' = - \frac{4 x (3 x y + 1)}{4 x^{3} - 5}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x (3 x y + 1)}{4 x^{3} - 5}$