Calcul infinitésimal Exemples

$\int 2 x (x^{2} - 3) (\frac{1}{2}) d x$

Étape 1

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Étape 1.1

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$\int x (x^{2} - 3) \frac{2}{2} d x$

Étape 1.2

Associez $\frac{2}{2}$ et $x$ .

$\int \frac{2 x}{2} (x^{2} - 3) d x$

Étape 1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{2 x}{2} (x^{2} - 3) d x$

Étape 1.3.2

Divisez $x$ par $1$ .

$\int x (x^{2} - 3) d x$

Étape 2

Laissez $u = x^{2} - 3$ . Alors $d u = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = x^{2} - 3$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $x^{2} - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

Étape 2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.1.4

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x + 0$

Étape 2.1.5

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$2 x$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int u \frac{1}{2} d u$

Étape 3

Associez $u$ et $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{u}{2} d u$

Étape 4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int u d u$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

Étape 6

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Étape 6.1

Réécrivez $\frac{1}{2} (\frac{1}{2} u^{2} + C)$ comme $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C$

Étape 6.2

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Étape 6.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} u^{2} + C$

Étape 6.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{4} u^{2} + C$

Étape 7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 3$ .

$\frac{1}{4} {(x^{2} - 3)}^{2} + C$