Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{3} + x^{2} - 8 x + 5$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + x^{2} - 8 x + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8 x$ par rapport à $x$ est $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + 2 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 x^{2} + 2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.2.3

Multipliez $- 8$ par $1$ .

$3 x^{2} + 2 x - 8 + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.3.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 x^{2} + 2 x - 8 + 0$

Étape 1.3.2

Additionnez $3 x^{2} + 2 x - 8$ et $0$ .

$3 x^{2} + 2 x - 8$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} + 2 x - 8$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x + 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 8)$

Étape 2.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$f'' (x) = 6 x + 2 + \frac{d}{d x} (- 8)$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.4.1

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 6 x + 2 + 0$

Étape 2.4.2

Additionnez $6 x + 2$ et $0$ .

$f'' (x) = 6 x + 2$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$3 x^{2} + 2 x - 8 = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Différenciez.

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Étape 4.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + x^{2} - 8 x + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 4.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 4.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8 x$ par rapport à $x$ est $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + 2 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 x^{2} + 2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $- 8$ par $1$ .

$3 x^{2} + 2 x - 8 + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.1.3.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 x^{2} + 2 x - 8 + 0$

Étape 4.1.3.2

Additionnez $3 x^{2} + 2 x - 8$ et $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 2 x - 8$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $3 x^{2} + 2 x - 8$ .

$3 x^{2} + 2 x - 8$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $3 x^{2} + 2 x - 8 = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$3 x^{2} + 2 x - 8 = 0$

Étape 5.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 5.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot - 8 = - 24$ et dont la somme est $b = 2$ .

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Étape 5.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$3 x^{2} + 2 (x) - 8 = 0$

Étape 5.2.1.2

Réécrivez $2$ comme $- 4$ plus $6$

$3 x^{2} + (- 4 + 6) x - 8 = 0$

Étape 5.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{2} - 4 x + 6 x - 8 = 0$

Étape 5.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 5.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(3 x^{2} - 4 x) + 6 x - 8 = 0$

Étape 5.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x (3 x - 4) + 2 (3 x - 4) = 0$

Étape 5.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 x - 4$ .

$(3 x - 4) (x + 2) = 0$

Étape 5.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$3 x - 4 = 0$

$x + 2 = 0$

Étape 5.4

Définissez $3 x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.4.1

Définissez $3 x - 4$ égal à $0$ .

$3 x - 4 = 0$

Étape 5.4.2

Résolvez $3 x - 4 = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.4.2.1

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x = 4$

Étape 5.4.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = 4$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 5.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 4$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Étape 5.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Étape 5.4.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{4}{3}$

Étape 5.5

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.5.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 5.5.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 5.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(3 x - 4) (x + 2) = 0$ vraie.

$x = \frac{4}{3}, - 2$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = \frac{4}{3}, - 2$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{4}{3}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$6 (\frac{4}{3}) + 2$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 9.1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$3 (2) \frac{4}{3} + 2$

Étape 9.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$3 \cdot 2 \frac{4}{3} + 2$

Étape 9.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$2 \cdot 4 + 2$

Étape 9.1.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$8 + 2$

Étape 9.2

Additionnez $8$ et $2$ .

$10$

Étape 10

$x = \frac{4}{3}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{4}{3}$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{4}{3}$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{4}{3}$ dans l’expression.

$f (\frac{4}{3}) = {(\frac{4}{3})}^{3} + {(\frac{4}{3})}^{2} - 8 (\frac{4}{3}) + 5$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{4}{3}$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{4^{3}}{3^{3}} + {(\frac{4}{3})}^{2} - 8 (\frac{4}{3}) + 5$

Étape 11.2.1.2

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64}{3^{3}} + {(\frac{4}{3})}^{2} - 8 (\frac{4}{3}) + 5$

Étape 11.2.1.3

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64}{27} + {(\frac{4}{3})}^{2} - 8 (\frac{4}{3}) + 5$

Étape 11.2.1.4

Appliquez la règle de produit à $\frac{4}{3}$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64}{27} + \frac{4^{2}}{3^{2}} - 8 (\frac{4}{3}) + 5$

Étape 11.2.1.5

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64}{27} + \frac{16}{3^{2}} - 8 (\frac{4}{3}) + 5$

Étape 11.2.1.6

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64}{27} + \frac{16}{9} - 8 (\frac{4}{3}) + 5$

Étape 11.2.1.7

Multipliez $- 8 (\frac{4}{3})$ .

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Étape 11.2.1.7.1

Associez $- 8$ et $\frac{4}{3}$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64}{27} + \frac{16}{9} + \frac{- 8 \cdot 4}{3} + 5$

Étape 11.2.1.7.2

Multipliez $- 8$ par $4$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64}{27} + \frac{16}{9} + \frac{- 32}{3} + 5$

Étape 11.2.1.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64}{27} + \frac{16}{9} - \frac{32}{3} + 5$

Étape 11.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 11.2.2.1

Multipliez $\frac{16}{9}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64}{27} + \frac{16}{9} \cdot \frac{3}{3} - \frac{32}{3} + 5$

Étape 11.2.2.2

Multipliez $\frac{16}{9}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64}{27} + \frac{16 \cdot 3}{9 \cdot 3} - \frac{32}{3} + 5$

Étape 11.2.2.3

Multipliez $\frac{32}{3}$ par $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64}{27} + \frac{16 \cdot 3}{9 \cdot 3} - (\frac{32}{3} \cdot \frac{9}{9}) + 5$

Étape 11.2.2.4

Multipliez $\frac{32}{3}$ par $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64}{27} + \frac{16 \cdot 3}{9 \cdot 3} - \frac{32 \cdot 9}{3 \cdot 9} + 5$

Étape 11.2.2.5

Écrivez $5$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64}{27} + \frac{16 \cdot 3}{9 \cdot 3} - \frac{32 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{5}{1}$

Étape 11.2.2.6

Multipliez $\frac{5}{1}$ par $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64}{27} + \frac{16 \cdot 3}{9 \cdot 3} - \frac{32 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{5}{1} \cdot \frac{27}{27}$

Étape 11.2.2.7

Multipliez $\frac{5}{1}$ par $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64}{27} + \frac{16 \cdot 3}{9 \cdot 3} - \frac{32 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{5 \cdot 27}{27}$

Étape 11.2.2.8

Réorganisez les facteurs de $9 \cdot 3$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64}{27} + \frac{16 \cdot 3}{3 \cdot 9} - \frac{32 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{5 \cdot 27}{27}$

Étape 11.2.2.9

Multipliez $3$ par $9$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64}{27} + \frac{16 \cdot 3}{27} - \frac{32 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{5 \cdot 27}{27}$

Étape 11.2.2.10

Multipliez $3$ par $9$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64}{27} + \frac{16 \cdot 3}{27} - \frac{32 \cdot 9}{27} + \frac{5 \cdot 27}{27}$

Étape 11.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64 + 16 \cdot 3 - 32 \cdot 9 + 5 \cdot 27}{27}$

Étape 11.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.4.1

Multipliez $16$ par $3$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64 + 48 - 32 \cdot 9 + 5 \cdot 27}{27}$

Étape 11.2.4.2

Multipliez $- 32$ par $9$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64 + 48 - 288 + 5 \cdot 27}{27}$

Étape 11.2.4.3

Multipliez $5$ par $27$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64 + 48 - 288 + 135}{27}$

Étape 11.2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 11.2.5.1

Additionnez $64$ et $48$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{112 - 288 + 135}{27}$

Étape 11.2.5.2

Soustrayez $288$ de $112$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{- 176 + 135}{27}$

Étape 11.2.5.3

Additionnez $- 176$ et $135$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{- 41}{27}$

Étape 11.2.5.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{4}{3}) = - \frac{41}{27}$

Étape 11.2.6

La réponse finale est $- \frac{41}{27}$ .

$y = - \frac{41}{27}$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 2$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$6 (- 2) + 2$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Multipliez $6$ par $- 2$ .

$- 12 + 2$

Étape 13.2

Additionnez $- 12$ et $2$ .

$- 10$

Étape 14

$x = - 2$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - 2$ est un maximum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = - 2$ .

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Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f (- 2) = {(- 2)}^{3} + {(- 2)}^{2} - 8 \cdot - 2 + 5$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$f (- 2) = - 8 + {(- 2)}^{2} - 8 \cdot - 2 + 5$

Étape 15.2.1.2

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$f (- 2) = - 8 + 4 - 8 \cdot - 2 + 5$

Étape 15.2.1.3

Multipliez $- 8$ par $- 2$ .

$f (- 2) = - 8 + 4 + 16 + 5$

Étape 15.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 15.2.2.1

Additionnez $- 8$ et $4$ .

$f (- 2) = - 4 + 16 + 5$

Étape 15.2.2.2

Additionnez $- 4$ et $16$ .

$f (- 2) = 12 + 5$

Étape 15.2.2.3

Additionnez $12$ et $5$ .

$f (- 2) = 17$

Étape 15.2.3

La réponse finale est $17$ .

$y = 17$

Étape 16

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x^{3} + x^{2} - 8 x + 5$ .

$(\frac{4}{3}, - \frac{41}{27})$ est un minimum local

$(- 2, 17)$ est un maximum local

Étape 17