Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{3}{\sqrt[3]{2 x - 1}}$

Étape 1

Écrivez $\frac{3}{\sqrt[3]{2 x - 1}}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{3}{\sqrt[3]{2 x - 1}}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{3}{\sqrt[3]{2 x - 1}} d x$

Étape 4

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$3 \int \frac{1}{\sqrt[3]{2 x - 1}} d x$

Étape 5

Laissez $u = 2 x - 1$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.1

Laissez $u = 2 x - 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Étape 5.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 5.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 5.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 5.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 5.1.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 5.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 5.1.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 + 0$

Étape 5.1.4.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$2$

Étape 5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$3 \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt[3]{u}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$3 \int \frac{1}{\sqrt[3]{u} \cdot 2} d u$

Étape 6.2

Déplacez $2$ à gauche de $\sqrt[3]{u}$ .

$3 \int \frac{1}{2 \sqrt[3]{u}} d u$

Étape 7

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$3 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u)$

Étape 8

Associez les fractions.

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Étape 8.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $3$ .

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Étape 8.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 8.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{u}$ comme $u^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Étape 8.2.2

Retirez $u^{\frac{1}{3}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{3}{2} \int {(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u$

Étape 8.2.3

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Étape 8.2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{2} \int u^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u$

Étape 8.2.3.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $- 1$ .

$\frac{3}{2} \int u^{\frac{- 1}{3}} d u$

Étape 8.2.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{3}{2} \int u^{- \frac{1}{3}} d u$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- \frac{1}{3}}$ par rapport à $u$ est $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3}{2} (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C)$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Réécrivez $\frac{3}{2} (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C)$ comme $\frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$

Étape 10.2

Simplifiez

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Étape 10.2.1

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 2} u^{\frac{2}{3}} + C$

Étape 10.2.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{9}{2 \cdot 2} u^{\frac{2}{3}} + C$

Étape 10.2.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{9}{4} u^{\frac{2}{3}} + C$

Étape 11

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x - 1$ .

$\frac{9}{4} {(2 x - 1)}^{\frac{2}{3}} + C$

Étape 12

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{3}{\sqrt[3]{2 x - 1}}$ .

$F (x) =$ $\frac{9}{4} {(2 x - 1)}^{\frac{2}{3}} + C$