Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x^{2} - x - 11}{e^{x}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2} - x - 11$ et $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - x - 11] - (x^{2} - x - 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Multipliez les exposants dans ${(e^{x})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - x - 11] - (x^{2} - x - 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

Étape 2.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - x - 11] - (x^{2} - x - 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - x - 11$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 11]$ .

$\frac{e^{x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 11]) - (x^{2} - x - 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{e^{x} (2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 11]) - (x^{2} - x - 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Étape 2.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{e^{x} (2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]) - (x^{2} - x - 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{e^{x} (2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 11]) - (x^{2} - x - 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Étape 2.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{e^{x} (2 x - 1 + \frac{d}{d x} [- 11]) - (x^{2} - x - 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Étape 2.7

Comme $- 11$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 11$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{e^{x} (2 x - 1 + 0) - (x^{2} - x - 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Étape 2.8

Additionnez $2 x - 1$ et $0$ .

$\frac{e^{x} (2 x - 1) - (x^{2} - x - 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x} (2 x - 1) - (x^{2} - x - 11) e^{x}}{e^{2 x}}$

Étape 4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{e^{x} (2 x) + e^{x} \cdot - 1 - (x^{2} - x - 11) e^{x}}{e^{2 x}}$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{e^{x} (2 x) + e^{x} \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - - 11) e^{x}}{e^{2 x}}$

Étape 4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{e^{x} (2 x) + e^{x} \cdot - 1 - x^{2} e^{x} - - x e^{x} - - 11 e^{x}}{e^{2 x}}$

Étape 4.4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 e^{x} x + e^{x} \cdot - 1 - x^{2} e^{x} - - x e^{x} - - 11 e^{x}}{e^{2 x}}$

Étape 4.4.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{x}$ .

$\frac{2 e^{x} x - 1 \cdot e^{x} - x^{2} e^{x} - - x e^{x} - - 11 e^{x}}{e^{2 x}}$

Étape 4.4.1.3

Réécrivez $- 1 e^{x}$ comme $- e^{x}$ .

$\frac{2 e^{x} x - e^{x} - x^{2} e^{x} - - x e^{x} - - 11 e^{x}}{e^{2 x}}$

Étape 4.4.1.4

Multipliez $- - x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{2 e^{x} x - e^{x} - x^{2} e^{x} + 1 x e^{x} - - 11 e^{x}}{e^{2 x}}$

Étape 4.4.1.4.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{2 e^{x} x - e^{x} - x^{2} e^{x} + x e^{x} - - 11 e^{x}}{e^{2 x}}$

Étape 4.4.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 11$ .

$\frac{2 e^{x} x - e^{x} - x^{2} e^{x} + x e^{x} + 11 e^{x}}{e^{2 x}}$

Étape 4.4.2

Additionnez $2 e^{x} x$ et $x e^{x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.2.1

Déplacez $e^{x}$ .

$\frac{2 x e^{x} + x e^{x} - e^{x} - x^{2} e^{x} + 11 e^{x}}{e^{2 x}}$

Étape 4.4.2.2

Additionnez $2 x e^{x}$ et $x e^{x}$ .

$\frac{3 x e^{x} - e^{x} - x^{2} e^{x} + 11 e^{x}}{e^{2 x}}$

Étape 4.4.3

Additionnez $- e^{x}$ et $11 e^{x}$ .

$\frac{3 x e^{x} - x^{2} e^{x} + 10 e^{x}}{e^{2 x}}$

Étape 4.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{3 e^{x} x - e^{x} x^{2} + 10 e^{x}}{e^{2 x}}$

Étape 4.6

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.6.1

Factorisez $e^{x}$ à partir de $3 e^{x} x - e^{x} x^{2} + 10 e^{x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.6.1.1

Factorisez $e^{x}$ à partir de $3 e^{x} x$ .

$\frac{e^{x} (3 x) - e^{x} x^{2} + 10 e^{x}}{e^{2 x}}$

Étape 4.6.1.2

Factorisez $e^{x}$ à partir de $- e^{x} x^{2}$ .

$\frac{e^{x} (3 x) + e^{x} (- x^{2}) + 10 e^{x}}{e^{2 x}}$

Étape 4.6.1.3

Factorisez $e^{x}$ à partir de $10 e^{x}$ .

$\frac{e^{x} (3 x) + e^{x} (- x^{2}) + e^{x} \cdot 10}{e^{2 x}}$

Étape 4.6.1.4

Factorisez $e^{x}$ à partir de $e^{x} (3 x) + e^{x} (- x^{2})$ .

$\frac{e^{x} (3 x - x^{2}) + e^{x} \cdot 10}{e^{2 x}}$

Étape 4.6.1.5

Factorisez $e^{x}$ à partir de $e^{x} (3 x - x^{2}) + e^{x} \cdot 10$ .

$\frac{e^{x} (3 x - x^{2} + 10)}{e^{2 x}}$

Étape 4.6.2

Laissez $u = x$ . Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $u$ .

$\frac{e^{x} (3 u - u^{2} + 10)}{e^{2 x}}$

Étape 4.6.3

Factorisez par regroupement.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.6.3.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{e^{x} (- u^{2} + 3 u + 10)}{e^{2 x}}$

Étape 4.6.3.2

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot 10 = - 10$ et dont la somme est $b = 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.6.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 u$ .

$\frac{e^{x} (- u^{2} + 3 (u) + 10)}{e^{2 x}}$

Étape 4.6.3.2.2

Réécrivez $3$ comme $- 2$ plus $5$

$\frac{e^{x} (- u^{2} + (- 2 + 5) u + 10)}{e^{2 x}}$

Étape 4.6.3.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{e^{x} (- u^{2} - 2 u + 5 u + 10)}{e^{2 x}}$

Étape 4.6.3.3

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.6.3.3.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{e^{x} ((- u^{2} - 2 u) + 5 u + 10)}{e^{2 x}}$

Étape 4.6.3.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{e^{x} (u (- u - 2) - 5 (- u - 2))}{e^{2 x}}$

Étape 4.6.3.4

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- u - 2$ .

$\frac{e^{x} ((- u - 2) (u - 5))}{e^{2 x}}$

Étape 4.6.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$\frac{e^{x} (- x - 2) (x - 5)}{e^{2 x}}$

Étape 4.7

Annulez le facteur commun à $e^{x}$ et $e^{2 x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.7.1

Factorisez $e^{2 x}$ à partir de $e^{x} (- x - 2) (x - 5)$ .

$\frac{e^{2 x} ((e^{- x} (- x - 2)) (x - 5))}{e^{2 x}}$

Étape 4.7.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.7.2.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{e^{2 x} ((e^{- x} (- x - 2)) (x - 5))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Étape 4.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{2 x} ((e^{- x} (- x - 2)) (x - 5))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Étape 4.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(e^{- x} (- x - 2)) (x - 5)}{1}$

Étape 4.7.2.4

Divisez $(e^{- x} (- x - 2)) (x - 5)$ par $1$ .

$(e^{- x} (- x - 2)) (x - 5)$

Étape 4.8

Appliquez la propriété distributive.

$(e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot - 2) (x - 5)$

Étape 4.9

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(- e^{- x} x + e^{- x} \cdot - 2) (x - 5)$

Étape 4.10

Déplacez $- 2$ à gauche de $e^{- x}$ .

$(- e^{- x} x - 2 \cdot e^{- x}) (x - 5)$

Étape 4.11

Développez $(- e^{- x} x - 2 e^{- x}) (x - 5)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$- e^{- x} x (x - 5) - 2 e^{- x} (x - 5)$

Étape 4.11.2

Appliquez la propriété distributive.

$- e^{- x} x \cdot x - e^{- x} x \cdot - 5 - 2 e^{- x} (x - 5)$

Étape 4.11.3

Appliquez la propriété distributive.

$- e^{- x} x \cdot x - e^{- x} x \cdot - 5 - 2 e^{- x} x - 2 e^{- x} \cdot - 5$

Étape 4.12

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.12.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.12.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.12.1.1.1

Déplacez $x$ .

$- e^{- x} (x \cdot x) - e^{- x} x \cdot - 5 - 2 e^{- x} x - 2 e^{- x} \cdot - 5$

Étape 4.12.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$- e^{- x} x^{2} - e^{- x} x \cdot - 5 - 2 e^{- x} x - 2 e^{- x} \cdot - 5$

Étape 4.12.1.2

Multipliez $- 5$ par $- 1$ .

$- e^{- x} x^{2} + 5 e^{- x} x - 2 e^{- x} x - 2 e^{- x} \cdot - 5$

Étape 4.12.1.3

Multipliez $- 5$ par $- 2$ .

$- e^{- x} x^{2} + 5 e^{- x} x - 2 e^{- x} x + 10 e^{- x}$

Étape 4.12.2

Soustrayez $2 e^{- x} x$ de $5 e^{- x} x$ .

$- e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} x + 10 e^{- x}$

Étape 4.13

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} x + 10 e^{- x}$ .

$- x^{2} e^{- x} + 3 x e^{- x} + 10 e^{- x}$