Calcul infinitésimal Exemples

$4 x^{2} e^{- x^{2}} - 2 e^{- x^{2}}$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{2} e^{- x^{2}} - 2 e^{- x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{2} e^{- x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} e^{- x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x^{2}}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{2} e^{- x^{2}}]$ .

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Étape 2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{2} e^{- x^{2}}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x^{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x^{2}}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = e^{- x^{2}}$ .

$4 (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}] + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x^{2}}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x^{2}$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $- x^{2}$ .

$4 (x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x^{2}}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$4 (x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x^{2}}]$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $- x^{2}$ .

$4 (x^{2} (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x^{2}}]$

Étape 2.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 (x^{2} (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x^{2}}]$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 (x^{2} (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x^{2}}]$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 (x^{2} (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x^{2}}]$

Étape 2.7

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$4 (x^{2} (e^{- x^{2}} (- 2 x)) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x^{2}}]$

Étape 2.8

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.8.1

Déplacez $x$ .

$4 (x \cdot x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x^{2}}]$

Étape 2.8.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 2.8.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$4 (x^{1} x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x^{2}}]$

Étape 2.8.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 (x^{1 + 2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x^{2}}]$

Étape 2.8.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$4 (x^{3} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x^{2}}]$

Étape 2.9

Déplacez $- 2$ à gauche de $e^{- x^{2}}$ .

$4 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x^{2}}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 e^{- x^{2}}]$ .

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Étape 3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 e^{- x^{2}}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$ .

$4 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) - 2 \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x^{2}$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $- x^{2}$ .

$4 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) - 2 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$4 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) - 2 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $- x^{2}$ .

$4 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) - 2 (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Étape 3.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) - 2 (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) - 2 (e^{- x^{2}} (- (2 x)))$

Étape 3.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$4 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) - 2 (e^{- x^{2}} (- 2 x))$

Étape 3.6

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$4 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + 4 e^{- x^{2}} x$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}})) + 4 (e^{- x^{2}} (2 x)) + 4 e^{- x^{2}} x$

Étape 4.2

Associez des termes.

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Étape 4.2.1

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$- 8 (x^{3} (e^{- x^{2}})) + 4 (e^{- x^{2}} (2 x)) + 4 e^{- x^{2}} x$

Étape 4.2.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$- 8 x^{3} e^{- x^{2}} + 8 (e^{- x^{2}} (x)) + 4 e^{- x^{2}} x$

Étape 4.2.3

Additionnez $8 e^{- x^{2}} x$ et $4 e^{- x^{2}} x$ .

$- 8 x^{3} e^{- x^{2}} + 12 e^{- x^{2}} x$

Étape 4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 8 e^{- x^{2}} x^{3} + 12 e^{- x^{2}} x$

Étape 4.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- 8 e^{- x^{2}} x^{3} + 12 e^{- x^{2}} x$ .

$- 8 x^{3} e^{- x^{2}} + 12 x e^{- x^{2}}$