Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{5}{8} x^{- 2} + \frac{4}{3} x^{3} + \frac{2}{3} x^{4} + \frac{1}{10} x^{- 3}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{5}{8} x^{- 2} + \frac{4}{3} x^{3} + \frac{2}{3} x^{4} + \frac{1}{10} x^{- 3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{5}{8} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5}{8} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{5}{8} x^{- 2}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $\frac{5}{8}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{5}{8} x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $\frac{5}{8} \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ .

$\frac{5}{8} \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 2$ .

$\frac{5}{8} (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$

Étape 1.2.3

Associez $- 2$ et $\frac{5}{8}$ .

$\frac{- 2 \cdot 5}{8} x^{- 3} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$

Étape 1.2.4

Multipliez $- 2$ par $5$ .

$\frac{- 10}{8} x^{- 3} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$

Étape 1.2.5

Associez $\frac{- 10}{8}$ et $x^{- 3}$ .

$\frac{- 10 x^{- 3}}{8} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$

Étape 1.2.6

Placez $x^{- 3}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 10}{8 x^{3}} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$

Étape 1.2.7

Annulez le facteur commun à $- 10$ et $8$ .

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Étape 1.2.7.1

Factorisez $2$ à partir de $- 10$ .

$\frac{2 (- 5)}{8 x^{3}} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$

Étape 1.2.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8 x^{3}$ .

$\frac{2 (- 5)}{2 (4 x^{3})} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$

Étape 1.2.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot - 5}{2 (4 x^{3})} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$

Étape 1.2.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 5}{4 x^{3}} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$

Étape 1.2.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{5}{4 x^{3}} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{4}{3} x^{3}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $\frac{4}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{4}{3} x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{5}{4 x^{3}} + \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- \frac{5}{4 x^{3}} + \frac{4}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$

Étape 1.3.3

Associez $3$ et $\frac{4}{3}$ .

$- \frac{5}{4 x^{3}} + \frac{3 \cdot 4}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$

Étape 1.3.4

Multipliez $3$ par $4$ .

$- \frac{5}{4 x^{3}} + \frac{12}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$

Étape 1.3.5

Associez $\frac{12}{3}$ et $x^{2}$ .

$- \frac{5}{4 x^{3}} + \frac{12 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$

Étape 1.3.6

Annulez le facteur commun à $12$ et $3$ .

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Étape 1.3.6.1

Factorisez $3$ à partir de $12 x^{2}$ .

$- \frac{5}{4 x^{3}} + \frac{3 (4 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$

Étape 1.3.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.3.6.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$- \frac{5}{4 x^{3}} + \frac{3 (4 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$

Étape 1.3.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{5}{4 x^{3}} + \frac{3 (4 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$

Étape 1.3.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{5}{4 x^{3}} + \frac{4 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$

Étape 1.3.6.2.4

Divisez $4 x^{2}$ par $1$ .

$- \frac{5}{4 x^{3}} + 4 x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}]$ .

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Étape 1.4.1

Comme $\frac{2}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2}{3} x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{5}{4 x^{3}} + 4 x^{2} + \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$- \frac{5}{4 x^{3}} + 4 x^{2} + \frac{2}{3} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$

Étape 1.4.3

Associez $4$ et $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{5}{4 x^{3}} + 4 x^{2} + \frac{4 \cdot 2}{3} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$

Étape 1.4.4

Multipliez $4$ par $2$ .

$- \frac{5}{4 x^{3}} + 4 x^{2} + \frac{8}{3} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$

Étape 1.4.5

Associez $\frac{8}{3}$ et $x^{3}$ .

$- \frac{5}{4 x^{3}} + 4 x^{2} + \frac{8 x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$

Étape 1.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$ .

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Étape 1.5.1

Comme $\frac{1}{10}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{10} x^{- 3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$ .

$- \frac{5}{4 x^{3}} + 4 x^{2} + \frac{8 x^{3}}{3} + \frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Étape 1.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 3$ .

$- \frac{5}{4 x^{3}} + 4 x^{2} + \frac{8 x^{3}}{3} + \frac{1}{10} (- 3 x^{- 4})$

Étape 1.5.3

Associez $- 3$ et $\frac{1}{10}$ .

$- \frac{5}{4 x^{3}} + 4 x^{2} + \frac{8 x^{3}}{3} + \frac{- 3}{10} x^{- 4}$

Étape 1.5.4

Associez $\frac{- 3}{10}$ et $x^{- 4}$ .

$- \frac{5}{4 x^{3}} + 4 x^{2} + \frac{8 x^{3}}{3} + \frac{- 3 x^{- 4}}{10}$

Étape 1.5.5

Placez $x^{- 4}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{5}{4 x^{3}} + 4 x^{2} + \frac{8 x^{3}}{3} + \frac{- 3}{10 x^{4}}$

Étape 1.5.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{5}{4 x^{3}} + 4 x^{2} + \frac{8 x^{3}}{3} - \frac{3}{10 x^{4}}$

Étape 1.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = \frac{8 x^{3}}{3} + 4 x^{2} - \frac{5}{4 x^{3}} - \frac{3}{10 x^{4}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{8 x^{3}}{3} + 4 x^{2} - \frac{5}{4 x^{3}} - \frac{3}{10 x^{4}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{8 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{4 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{8 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{4 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{8 x^{3}}{3}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $\frac{8}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{8 x^{3}}{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{8}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{8}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{4 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{8}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{4 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

Étape 2.2.3

Associez $3$ et $\frac{8}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 8}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{4 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

Étape 2.2.4

Multipliez $3$ par $8$ .

$\frac{24}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{4 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

Étape 2.2.5

Associez $\frac{24}{3}$ et $x^{2}$ .

$\frac{24 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{4 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

Étape 2.2.6

Annulez le facteur commun à $24$ et $3$ .

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Étape 2.2.6.1

Factorisez $3$ à partir de $24 x^{2}$ .

$\frac{3 (8 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{4 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

Étape 2.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.6.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 (8 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{4 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

Étape 2.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (8 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{4 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

Étape 2.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{8 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{4 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

Étape 2.2.6.2.4

Divisez $8 x^{2}$ par $1$ .

$8 x^{2} + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{4 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$8 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{4 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$8 x^{2} + 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{4 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

Étape 2.3.3

Multipliez $2$ par $4$ .

$8 x^{2} + 8 x + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{4 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{4 x^{3}}]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $- \frac{5}{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{5}{4 x^{3}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{5}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$8 x^{2} + 8 x - \frac{5}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

Étape 2.4.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{3}}$ comme ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$8 x^{2} + 8 x - \frac{5}{4} \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

Étape 2.4.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{3}$ .

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Étape 2.4.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x^{3}$ .

$8 x^{2} + 8 x - \frac{5}{4} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

Étape 2.4.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$8 x^{2} + 8 x - \frac{5}{4} (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

Étape 2.4.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{3}$ .

$8 x^{2} + 8 x - \frac{5}{4} (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

Étape 2.4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$8 x^{2} + 8 x - \frac{5}{4} (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

Étape 2.4.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Étape 2.4.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 x^{2} + 8 x - \frac{5}{4} (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

Étape 2.4.5.2

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$8 x^{2} + 8 x - \frac{5}{4} (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

Étape 2.4.6

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$8 x^{2} + 8 x - \frac{5}{4} (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

Étape 2.4.7

Multipliez $x^{- 6}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.4.7.1

Déplacez $x^{2}$ .

$8 x^{2} + 8 x - \frac{5}{4} (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

Étape 2.4.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$8 x^{2} + 8 x - \frac{5}{4} (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

Étape 2.4.7.3

Soustrayez $6$ de $2$ .

$8 x^{2} + 8 x - \frac{5}{4} (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

Étape 2.4.8

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$8 x^{2} + 8 x + 3 (\frac{5}{4}) x^{- 4} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

Étape 2.4.9

Associez $3$ et $\frac{5}{4}$ .

$8 x^{2} + 8 x + \frac{3 \cdot 5}{4} x^{- 4} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

Étape 2.4.10

Multipliez $3$ par $5$ .

$8 x^{2} + 8 x + \frac{15}{4} x^{- 4} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

Étape 2.4.11

Associez $\frac{15}{4}$ et $x^{- 4}$ .

$8 x^{2} + 8 x + \frac{15 x^{- 4}}{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

Étape 2.4.12

Placez $x^{- 4}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 x^{2} + 8 x + \frac{15}{4 x^{4}} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

Étape 2.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$ .

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Étape 2.5.1

Comme $- \frac{3}{10}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{3}{10 x^{4}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{3}{10} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$8 x^{2} + 8 x + \frac{15}{4 x^{4}} - \frac{3}{10} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Étape 2.5.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{4}}$ comme ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$8 x^{2} + 8 x + \frac{15}{4 x^{4}} - \frac{3}{10} \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

Étape 2.5.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{4}$ .

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Étape 2.5.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x^{4}$ .

$8 x^{2} + 8 x + \frac{15}{4 x^{4}} - \frac{3}{10} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Étape 2.5.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$8 x^{2} + 8 x + \frac{15}{4 x^{4}} - \frac{3}{10} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Étape 2.5.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x^{4}$ .

$8 x^{2} + 8 x + \frac{15}{4 x^{4}} - \frac{3}{10} (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Étape 2.5.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$8 x^{2} + 8 x + \frac{15}{4 x^{4}} - \frac{3}{10} (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3}))$

Étape 2.5.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{4})}^{- 2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 x^{2} + 8 x + \frac{15}{4 x^{4}} - \frac{3}{10} (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3}))$

Étape 2.5.5.2

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$8 x^{2} + 8 x + \frac{15}{4 x^{4}} - \frac{3}{10} (- x^{- 8} (4 x^{3}))$

Étape 2.5.6

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$8 x^{2} + 8 x + \frac{15}{4 x^{4}} - \frac{3}{10} (- 4 x^{- 8} x^{3})$

Étape 2.5.7

Multipliez $x^{- 8}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.7.1

Déplacez $x^{3}$ .

$8 x^{2} + 8 x + \frac{15}{4 x^{4}} - \frac{3}{10} (- 4 (x^{3} x^{- 8}))$

Étape 2.5.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$8 x^{2} + 8 x + \frac{15}{4 x^{4}} - \frac{3}{10} (- 4 x^{3 - 8})$

Étape 2.5.7.3

Soustrayez $8$ de $3$ .

$8 x^{2} + 8 x + \frac{15}{4 x^{4}} - \frac{3}{10} (- 4 x^{- 5})$

Étape 2.5.8

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$8 x^{2} + 8 x + \frac{15}{4 x^{4}} + 4 (\frac{3}{10}) x^{- 5}$

Étape 2.5.9

Associez $4$ et $\frac{3}{10}$ .

$8 x^{2} + 8 x + \frac{15}{4 x^{4}} + \frac{4 \cdot 3}{10} x^{- 5}$

Étape 2.5.10

Multipliez $4$ par $3$ .

$8 x^{2} + 8 x + \frac{15}{4 x^{4}} + \frac{12}{10} x^{- 5}$

Étape 2.5.11

Associez $\frac{12}{10}$ et $x^{- 5}$ .

$8 x^{2} + 8 x + \frac{15}{4 x^{4}} + \frac{12 x^{- 5}}{10}$

Étape 2.5.12

Placez $x^{- 5}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 x^{2} + 8 x + \frac{15}{4 x^{4}} + \frac{12}{10 x^{5}}$

Étape 2.5.13

Annulez le facteur commun à $12$ et $10$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.13.1

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$8 x^{2} + 8 x + \frac{15}{4 x^{4}} + \frac{2 (6)}{10 x^{5}}$

Étape 2.5.13.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.13.2.1

Factorisez $2$ à partir de $10 x^{5}$ .

$8 x^{2} + 8 x + \frac{15}{4 x^{4}} + \frac{2 (6)}{2 (5 x^{5})}$

Étape 2.5.13.2.2

Annulez le facteur commun.

$8 x^{2} + 8 x + \frac{15}{4 x^{4}} + \frac{2 \cdot 6}{2 (5 x^{5})}$

Étape 2.5.13.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = 8 x^{2} + 8 x + \frac{15}{4 x^{4}} + \frac{6}{5 x^{5}}$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 x^{2} + 8 x + \frac{15}{4 x^{4}} + \frac{6}{5 x^{5}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [\frac{15}{4 x^{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [\frac{15}{4 x^{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x^{2}$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [\frac{15}{4 x^{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$8 (2 x) + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [\frac{15}{4 x^{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

Étape 3.2.3

Multipliez $2$ par $8$ .

$16 x + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [\frac{15}{4 x^{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$16 x + 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{15}{4 x^{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$16 x + 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{15}{4 x^{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

Étape 3.3.3

Multipliez $8$ par $1$ .

$16 x + 8 + \frac{d}{d x} [\frac{15}{4 x^{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

Étape 3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{15}{4 x^{4}}]$ .

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Étape 3.4.1

Comme $\frac{15}{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{15}{4 x^{4}}$ par rapport à $x$ est $\frac{15}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$16 x + 8 + \frac{15}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

Étape 3.4.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{4}}$ comme ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$16 x + 8 + \frac{15}{4} \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

Étape 3.4.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x^{4}$ .

$16 x + 8 + \frac{15}{4} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

Étape 3.4.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$16 x + 8 + \frac{15}{4} (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

Étape 3.4.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{4}$ .

$16 x + 8 + \frac{15}{4} (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

Étape 3.4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$16 x + 8 + \frac{15}{4} (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

Étape 3.4.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{4})}^{- 2}$ .

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Étape 3.4.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 x + 8 + \frac{15}{4} (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

Étape 3.4.5.2

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$16 x + 8 + \frac{15}{4} (- x^{- 8} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

Étape 3.4.6

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$16 x + 8 + \frac{15}{4} (- 4 x^{- 8} x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

Étape 3.4.7

Multipliez $x^{- 8}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.7.1

Déplacez $x^{3}$ .

$16 x + 8 + \frac{15}{4} (- 4 (x^{3} x^{- 8})) + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

Étape 3.4.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$16 x + 8 + \frac{15}{4} (- 4 x^{3 - 8}) + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

Étape 3.4.7.3

Soustrayez $8$ de $3$ .

$16 x + 8 + \frac{15}{4} (- 4 x^{- 5}) + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

Étape 3.4.8

Associez $- 4$ et $\frac{15}{4}$ .

$16 x + 8 + \frac{- 4 \cdot 15}{4} x^{- 5} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

Étape 3.4.9

Multipliez $- 4$ par $15$ .

$16 x + 8 + \frac{- 60}{4} x^{- 5} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

Étape 3.4.10

Associez $\frac{- 60}{4}$ et $x^{- 5}$ .

$16 x + 8 + \frac{- 60 x^{- 5}}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

Étape 3.4.11

Placez $x^{- 5}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$16 x + 8 + \frac{- 60}{4 x^{5}} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

Étape 3.4.12

Annulez le facteur commun à $- 60$ et $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.12.1

Factorisez $4$ à partir de $- 60$ .

$16 x + 8 + \frac{4 \cdot - 15}{4 x^{5}} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

Étape 3.4.12.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.12.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{5}$ .

$16 x + 8 + \frac{4 \cdot - 15}{4 (x^{5})} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

Étape 3.4.12.2.2

Annulez le facteur commun.

$16 x + 8 + \frac{4 \cdot - 15}{4 x^{5}} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

Étape 3.4.12.2.3

Réécrivez l’expression.

$16 x + 8 + \frac{- 15}{x^{5}} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

Étape 3.4.13

Placez le signe moins devant la fraction.

$16 x + 8 - \frac{15}{x^{5}} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

Étape 3.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$ .

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Étape 3.5.1

Comme $\frac{6}{5}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{6}{5 x^{5}}$ par rapport à $x$ est $\frac{6}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ .

$16 x + 8 - \frac{15}{x^{5}} + \frac{6}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$

Étape 3.5.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{5}}$ comme ${(x^{5})}^{- 1}$ .

$16 x + 8 - \frac{15}{x^{5}} + \frac{6}{5} \frac{d}{d x} [{(x^{5})}^{- 1}]$

Étape 3.5.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{5}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x^{5}$ .

$16 x + 8 - \frac{15}{x^{5}} + \frac{6}{5} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Étape 3.5.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$16 x + 8 - \frac{15}{x^{5}} + \frac{6}{5} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Étape 3.5.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x^{5}$ .

$16 x + 8 - \frac{15}{x^{5}} + \frac{6}{5} (- {(x^{5})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Étape 3.5.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$16 x + 8 - \frac{15}{x^{5}} + \frac{6}{5} (- {(x^{5})}^{- 2} (5 x^{4}))$

Étape 3.5.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{5})}^{- 2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 x + 8 - \frac{15}{x^{5}} + \frac{6}{5} (- x^{5 \cdot - 2} (5 x^{4}))$

Étape 3.5.5.2

Multipliez $5$ par $- 2$ .

$16 x + 8 - \frac{15}{x^{5}} + \frac{6}{5} (- x^{- 10} (5 x^{4}))$

Étape 3.5.6

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$16 x + 8 - \frac{15}{x^{5}} + \frac{6}{5} (- 5 x^{- 10} x^{4})$

Étape 3.5.7

Multipliez $x^{- 10}$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.7.1

Déplacez $x^{4}$ .

$16 x + 8 - \frac{15}{x^{5}} + \frac{6}{5} (- 5 (x^{4} x^{- 10}))$

Étape 3.5.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$16 x + 8 - \frac{15}{x^{5}} + \frac{6}{5} (- 5 x^{4 - 10})$

Étape 3.5.7.3

Soustrayez $10$ de $4$ .

$16 x + 8 - \frac{15}{x^{5}} + \frac{6}{5} (- 5 x^{- 6})$

Étape 3.5.8

Associez $- 5$ et $\frac{6}{5}$ .

$16 x + 8 - \frac{15}{x^{5}} + \frac{- 5 \cdot 6}{5} x^{- 6}$

Étape 3.5.9

Multipliez $- 5$ par $6$ .

$16 x + 8 - \frac{15}{x^{5}} + \frac{- 30}{5} x^{- 6}$

Étape 3.5.10

Associez $\frac{- 30}{5}$ et $x^{- 6}$ .

$16 x + 8 - \frac{15}{x^{5}} + \frac{- 30 x^{- 6}}{5}$

Étape 3.5.11

Placez $x^{- 6}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$16 x + 8 - \frac{15}{x^{5}} + \frac{- 30}{5 x^{6}}$

Étape 3.5.12

Annulez le facteur commun à $- 30$ et $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.12.1

Factorisez $5$ à partir de $- 30$ .

$16 x + 8 - \frac{15}{x^{5}} + \frac{5 \cdot - 6}{5 x^{6}}$

Étape 3.5.12.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.12.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5 x^{6}$ .

$16 x + 8 - \frac{15}{x^{5}} + \frac{5 \cdot - 6}{5 (x^{6})}$

Étape 3.5.12.2.2

Annulez le facteur commun.

$16 x + 8 - \frac{15}{x^{5}} + \frac{5 \cdot - 6}{5 x^{6}}$

Étape 3.5.12.2.3

Réécrivez l’expression.

$16 x + 8 - \frac{15}{x^{5}} + \frac{- 6}{x^{6}}$

Étape 3.5.13

Placez le signe moins devant la fraction.

$16 x + 8 - \frac{15}{x^{5}} - \frac{6}{x^{6}}$

Étape 3.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$f''' (x) = 16 x - \frac{15}{x^{5}} - \frac{6}{x^{6}} + 8$

Étape 4

La dérivée troisième de $f (x)$ par rapport à $x$ est $16 x - \frac{15}{x^{5}} - \frac{6}{x^{6}} + 8$ .

$16 x - \frac{15}{x^{5}} - \frac{6}{x^{6}} + 8$