Calcul infinitésimal Exemples

$(2 x - 1) e^{x}$

Étape 1

Écrivez $(2 x - 1) e^{x}$ comme une fonction.

$f (x) = (2 x - 1) e^{x}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int (2 x - 1) e^{x} d x$

Étape 4

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = 2 x - 1$ et $d v = e^{x}$ .

$(2 x - 1) e^{x} - \int e^{x} \cdot 2 d x$

Étape 5

Déplacez $2$ à gauche de $e^{x}$ .

$(2 x - 1) e^{x} - \int 2 e^{x} d x$

Étape 6

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$(2 x - 1) e^{x} - (2 \int e^{x} d x)$

Étape 7

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$(2 x - 1) e^{x} - 2 \int e^{x} d x$

Étape 8

L’intégrale de $e^{x}$ par rapport à $x$ est $e^{x}$ .

$(2 x - 1) e^{x} - 2 (e^{x} + C)$

Étape 9

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.1

Réécrivez $(2 x - 1) e^{x} - 2 (e^{x} + C)$ comme $2 x e^{x} - e^{x} - 2 e^{x} + C$ .

$2 x e^{x} - e^{x} - 2 e^{x} + C$

Étape 9.2

Soustrayez $2 e^{x}$ de $- e^{x}$ .

$2 x e^{x} - 3 e^{x} + C$

Étape 10

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = (2 x - 1) e^{x}$ .

$F (x) =$ $2 x e^{x} - 3 e^{x} + C$