Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \arctan (x^{2})$

Étape 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \arctan (x)$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 1.1.1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (\arctan (u)) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Étape 1.1.1.1.2

La dérivée de $\arctan (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{1 + u^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})$

Étape 1.1.1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{1 + {(x^{2})}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 1.1.1.2.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 1.1.1.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = \frac{1}{1 + x^{2 \cdot 2}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})$

Étape 1.1.1.2.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f' (x) = \frac{1}{1 + x^{4}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{1}{1 + x^{4}} \cdot (2 x)$

Étape 1.1.1.2.3

Associez les fractions.

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Étape 1.1.1.2.3.1

Associez $2$ et $\frac{1}{1 + x^{4}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{1 + x^{4}} \cdot x$

Étape 1.1.1.2.3.2

Associez $\frac{2}{1 + x^{4}}$ et $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x}{1 + x^{4}}$

Étape 1.1.1.2.3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = \frac{2 x}{x^{4} + 1}$

Étape 1.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2 x}{x^{4} + 1}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{4} + 1}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x}{x^{4} + 1})$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = x^{4} + 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{4} + 1) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{4} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Étape 1.1.2.3

Différenciez.

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Étape 1.1.2.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{4} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{4} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Étape 1.1.2.3.2

Multipliez $x^{4} + 1$ par $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - x \frac{d}{d x} (x^{4} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Étape 1.1.2.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - x (\frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Étape 1.1.2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - x (4 x^{3} + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Étape 1.1.2.3.5

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - x (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Étape 1.1.2.3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.2.3.6.1

Additionnez $4 x^{3}$ et $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - x (4 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Étape 1.1.2.3.6.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - 4 x \cdot x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Étape 1.1.2.4

Multipliez $x$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.2.4.1

Déplacez $x^{3}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - 4 (x^{3} x)}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Étape 1.1.2.4.2

Multipliez $x^{3}$ par $x$ .

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Étape 1.1.2.4.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - 4 (x^{3} x)}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Étape 1.1.2.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - 4 x^{3 + 1}}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Étape 1.1.2.4.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - 4 x^{4}}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Étape 1.1.2.5

Soustrayez $4 x^{4}$ de $x^{4}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{- 3 x^{4} + 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Étape 1.1.2.6

Associez $2$ et $\frac{- 3 x^{4} + 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 3 x^{4} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2.7

Simplifiez

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Étape 1.1.2.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{2 (- 3 x^{4}) + 2 \cdot 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2.7.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.7.2.1

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{4} + 2 \cdot 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2.7.2.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{4} + 2}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2.7.3

Factorisez $2$ à partir de $- 6 x^{4} + 2$ .

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Étape 1.1.2.7.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 6 x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 3 x^{4}) + 2}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2.7.3.2

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 3 x^{4}) + 2 (1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2.7.3.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- 3 x^{4}) + 2 (1)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 3 x^{4} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2.7.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (3 x^{4}) + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2.7.5

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (3 x^{4}) - 1 \cdot - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2.7.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 x^{4}) - 1 (- 1)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (3 x^{4} - 1))}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2.7.7

Réécrivez $- (3 x^{4} - 1)$ comme $- 1 (3 x^{4} - 1)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 1 (3 x^{4} - 1))}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2.7.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{2 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{2 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{2 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 1.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{2 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}} = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$- \frac{2 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}} = 0$

Étape 1.2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$2 (3 x^{4} - 1) = 0$

Étape 1.2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 1.2.3.1

Divisez chaque terme dans $2 (3 x^{4} - 1) = 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 1.2.3.1.1

Divisez chaque terme dans $2 (3 x^{4} - 1) = 0$ par $2$ .

$\frac{2 (3 x^{4} - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 1.2.3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.1.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.3.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (3 x^{4} - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 1.2.3.1.2.1.2

Divisez $3 x^{4} - 1$ par $1$ .

$3 x^{4} - 1 = \frac{0}{2}$

Étape 1.2.3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.1.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$3 x^{4} - 1 = 0$

Étape 1.2.3.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x^{4} = 1$

Étape 1.2.3.3

Divisez chaque terme dans $3 x^{4} = 1$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 1.2.3.3.1

Divisez chaque terme dans $3 x^{4} = 1$ par $3$ .

$\frac{3 x^{4}}{3} = \frac{1}{3}$

Étape 1.2.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.2.3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x^{4}}{3} = \frac{1}{3}$

Étape 1.2.3.3.2.1.2

Divisez $x^{4}$ par $1$ .

$x^{4} = \frac{1}{3}$

Étape 1.2.3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{3}}$

Étape 1.2.3.5

Simplifiez $\pm \sqrt[4]{\frac{1}{3}}$ .

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Étape 1.2.3.5.1

Réécrivez $\sqrt[4]{\frac{1}{3}}$ comme $\frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{3}}$

Étape 1.2.3.5.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt[4]{3}}$

Étape 1.2.3.5.3

Multipliez $\frac{1}{\sqrt[4]{3}}$ par $\frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{3}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt[4]{3}} \cdot \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{3}}$

Étape 1.2.3.5.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.3.5.4.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt[4]{3}}$ par $\frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{3}}$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{\sqrt[4]{3} {\sqrt[4]{3}}^{3}}$

Étape 1.2.3.5.4.2

Élevez $\sqrt[4]{3}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{1} {\sqrt[4]{3}}^{3}}$

Étape 1.2.3.5.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{1 + 3}}$

Étape 1.2.3.5.4.4

Additionnez $1$ et $3$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{4}}$

Étape 1.2.3.5.4.5

Réécrivez ${\sqrt[4]{3}}^{4}$ comme $3$ .

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Étape 1.2.3.5.4.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[4]{3}$ comme $3^{\frac{1}{4}}$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{(3^{\frac{1}{4}})}^{4}}$

Étape 1.2.3.5.4.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{\frac{1}{4} \cdot 4}}$

Étape 1.2.3.5.4.5.3

Associez $\frac{1}{4}$ et $4$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{\frac{4}{4}}}$

Étape 1.2.3.5.4.5.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 1.2.3.5.4.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{\frac{4}{4}}}$

Étape 1.2.3.5.4.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{1}}$

Étape 1.2.3.5.4.5.5

Évaluez l’exposant.

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{3}$

Étape 1.2.3.5.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.3.5.5.1

Réécrivez ${\sqrt[4]{3}}^{3}$ comme $\sqrt[4]{3^{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{3^{3}}}{3}$

Étape 1.2.3.5.5.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$

Étape 1.2.3.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 1.2.3.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$

Étape 1.2.3.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$

Étape 1.2.3.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, - \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$

Étape 2

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 3

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, - \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) \cup (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) \cup (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \infty)$

Étape 4

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \infty, - \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $- 3$ dans l’expression.

$f'' (- 3) = - \frac{2 (3 {(- 3)}^{4} - 1)}{{({(- 3)}^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $4$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 (3 \cdot 81 - 1)}{{({(- 3)}^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $3$ par $81$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 (243 - 1)}{{({(- 3)}^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 4.2.1.3

Soustrayez $1$ de $243$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 \cdot 242}{{({(- 3)}^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 4.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.2.1

Élevez $- 3$ à la puissance $4$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 \cdot 242}{{(81 + 1)}^{2}}$

Étape 4.2.2.2

Additionnez $81$ et $1$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 \cdot 242}{82^{2}}$

Étape 4.2.2.3

Élevez $82$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 \cdot 242}{6724}$

Étape 4.2.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.2.3.1

Multipliez $2$ par $242$ .

$f'' (- 3) = - \frac{484}{6724}$

Étape 4.2.3.2

Annulez le facteur commun à $484$ et $6724$ .

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Étape 4.2.3.2.1

Factorisez $4$ à partir de $484$ .

$f'' (- 3) = - \frac{4 (121)}{6724}$

Étape 4.2.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.3.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $6724$ .

$f'' (- 3) = - \frac{4 \cdot 121}{4 \cdot 1681}$

Étape 4.2.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (- 3) = - \frac{4 \cdot 121}{4 \cdot 1681}$

Étape 4.2.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (- 3) = - \frac{121}{1681}$

Étape 4.2.4

La réponse finale est $- \frac{121}{1681}$ .

$- \frac{121}{1681}$

Étape 4.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(- \infty, - \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ car $f'' (- 3)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(- \infty, - \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f'' (0) = - \frac{2 (3 {(0)}^{4} - 1)}{{({(0)}^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 (3 \cdot 0 - 1)}{{(0^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 (0 - 1)}{{(0^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 5.2.1.3

Soustrayez $1$ de $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 1}{{(0^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 1}{{(0 + 1)}^{2}}$

Étape 5.2.2.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 1}{1^{2}}$

Étape 5.2.2.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 1}{1}$

Étape 5.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.2.3.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (0) = - \frac{- 2}{1}$

Étape 5.2.3.2

Divisez $- 2$ par $1$ .

$f'' (0) = 2$

Étape 5.2.3.3

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$f'' (0) = 2$

Étape 5.2.4

La réponse finale est $2$ .

$2$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ car $f'' (0)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 6

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f'' (3) = - \frac{2 (3 {(3)}^{4} - 1)}{{({(3)}^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Multipliez $3$ par ${(3)}^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.1.1

Multipliez $3$ par ${(3)}^{4}$ .

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Étape 6.2.1.1.1

Élevez $3$ à la puissance $1$ .

$f'' (3) = - \frac{2 (3 {(3)}^{4} - 1)}{{({(3)}^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 6.2.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (3) = - \frac{2 (3^{1 + 4} - 1)}{{({(3)}^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 6.2.1.2

Additionnez $1$ et $4$ .

$f'' (3) = - \frac{2 (3^{5} - 1)}{{({(3)}^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.2.1

Élevez $3$ à la puissance $5$ .

$f'' (3) = - \frac{2 (243 - 1)}{{(3^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 6.2.2.2

Soustrayez $1$ de $243$ .

$f'' (3) = - \frac{2 \cdot 242}{{(3^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 6.2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.3.1

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$f'' (3) = - \frac{2 \cdot 242}{{(81 + 1)}^{2}}$

Étape 6.2.3.2

Additionnez $81$ et $1$ .

$f'' (3) = - \frac{2 \cdot 242}{82^{2}}$

Étape 6.2.3.3

Élevez $82$ à la puissance $2$ .

$f'' (3) = - \frac{2 \cdot 242}{6724}$

Étape 6.2.4

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 6.2.4.1

Multipliez $2$ par $242$ .

$f'' (3) = - \frac{484}{6724}$

Étape 6.2.4.2

Annulez le facteur commun à $484$ et $6724$ .

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Étape 6.2.4.2.1

Factorisez $4$ à partir de $484$ .

$f'' (3) = - \frac{4 (121)}{6724}$

Étape 6.2.4.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.4.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $6724$ .

$f'' (3) = - \frac{4 \cdot 121}{4 \cdot 1681}$

Étape 6.2.4.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (3) = - \frac{4 \cdot 121}{4 \cdot 1681}$

Étape 6.2.4.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (3) = - \frac{121}{1681}$

Étape 6.2.5

La réponse finale est $- \frac{121}{1681}$ .

$- \frac{121}{1681}$

Étape 6.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \infty)$ car $f'' (3)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \infty)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 7

Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.

Concave vers le bas sur $(- \infty, - \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ car $f'' (x)$ est négatif

Concave vers le haut sur $(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ car $f'' (x)$ est positif

Concave vers le bas sur $(\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \infty)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 8