Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = {(3 x + 2)}^{4} - \frac{1}{x^{6}}$

Étape 1

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 2

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int {(3 x + 2)}^{4} - \frac{1}{x^{6}} d x$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int {(3 x + 2)}^{4} d x + \int - \frac{1}{x^{6}} d x$

Étape 4

Laissez $u = 3 x + 2$ . Alors $d u = 3 d x$ , donc $\frac{1}{3} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.1

Laissez $u = 3 x + 2$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $3 x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 2]$

Étape 4.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 4.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.1.4.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 + 0$

Étape 4.1.4.2

Additionnez $3$ et $0$ .

$3$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int u^{4} \frac{1}{3} d u + \int - \frac{1}{x^{6}} d x$

Étape 5

Associez $u^{4}$ et $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{u^{4}}{3} d u + \int - \frac{1}{x^{6}} d x$

Étape 6

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} \int u^{4} d u + \int - \frac{1}{x^{6}} d x$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{4}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{5} u^{5} + C) + \int - \frac{1}{x^{6}} d x$

Étape 8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} (\frac{1}{5} u^{5} + C) - \int \frac{1}{x^{6}} d x$

Étape 9

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 9.1

Retirez $x^{6}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{5} u^{5} + C) - \int {(x^{6})}^{- 1} d x$

Étape 9.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{6})}^{- 1}$ .

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Étape 9.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{5} u^{5} + C) - \int x^{6 \cdot - 1} d x$

Étape 9.2.2

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{5} u^{5} + C) - \int x^{- 6} d x$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 6}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{5} x^{- 5}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{5} u^{5} + C) - (- \frac{1}{5} x^{- 5} + C)$

Étape 11

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Étape 11.1

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Étape 11.1.1

Associez $x^{- 5}$ et $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{5} u^{5} + C) - (- \frac{x^{- 5}}{5} + C)$

Étape 11.1.2

Placez $x^{- 5}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{5} u^{5} + C) - (- \frac{1}{5 x^{5}} + C)$

Étape 11.2

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$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5} u^{5} - - \frac{1}{5 x^{5}} + C$

Étape 11.3

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Étape 11.3.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{3 \cdot 5} u^{5} - - \frac{1}{5 x^{5}} + C$

Étape 11.3.2

Multipliez $3$ par $5$ .

$\frac{1}{15} u^{5} - - \frac{1}{5 x^{5}} + C$

Étape 11.3.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1}{15} u^{5} + 1 \frac{1}{5 x^{5}} + C$

Étape 11.3.4

Multipliez $\frac{1}{5 x^{5}}$ par $1$ .

$\frac{1}{15} u^{5} + \frac{1}{5 x^{5}} + C$

Étape 12

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x + 2$ .

$\frac{1}{15} {(3 x + 2)}^{5} + \frac{1}{5 x^{5}} + C$

Étape 13

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = {(3 x + 2)}^{4} - \frac{1}{x^{6}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{15} {(3 x + 2)}^{5} + \frac{1}{5 x^{5}} + C$