Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(3 \cos (3 θ))}^{2} d θ$

Étape 1

Simplifiez

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Étape 1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 \cos (3 θ)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(3 (\cos (3 θ)))}^{2} d θ$

Étape 1.2

Appliquez la règle de produit à $3 (\cos (3 θ))$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} 3^{2} \cos^{2} (3 θ) d θ$

Étape 1.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} 9 \cos^{2} (3 θ) d θ$

Étape 2

Comme $9$ est constant par rapport à $θ$ , placez $9$ en dehors de l’intégrale.

$9 \int_{0}^{\frac{π}{6}} \cos^{2} (3 θ) d θ$

Étape 3

Laissez $u_{1} = 3 θ$ . Alors $d u_{1} = 3 d θ$ , donc $\frac{1}{3} d u_{1} = d θ$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 3.1

Laissez $u_{1} = 3 θ$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d θ}$ .

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Étape 3.1.1

Différenciez $3 θ$ .

$\frac{d}{d θ} [3 θ]$

Étape 3.1.2

Comme $3$ est constant par rapport à $θ$ , la dérivée de $3 θ$ par rapport à $θ$ est $3 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$3 \frac{d}{d θ} [θ]$

Étape 3.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ est $n θ^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Étape 3.1.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$3$

Étape 3.2

Remplacez la limite inférieure pour $θ$ dans $u_{1} = 3 θ$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

Étape 3.3

Multipliez $3$ par $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 3.4

Remplacez la limite supérieure pour $θ$ dans $u_{1} = 3 θ$ .

$u_{upper} = 3 \frac{π}{6}$

Étape 3.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.5.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$u_{upper} = 3 \frac{π}{3 (2)}$

Étape 3.5.2

Annulez le facteur commun.

$u_{upper} = 3 \frac{π}{3 \cdot 2}$

Étape 3.5.3

Réécrivez l’expression.

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Étape 3.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Étape 3.7

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ , $d u_{1}$ et les nouvelles limites d’intégration.

$9 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (u_{1}) \frac{1}{3} d u_{1}$

Étape 4

Associez $\cos^{2} (u_{1})$ et $\frac{1}{3}$ .

$9 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos^{2} (u_{1})}{3} d u_{1}$

Étape 5

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$9 (\frac{1}{3} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1})$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $9$ .

$\frac{9}{3} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun à $9$ et $3$ .

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Étape 6.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$\frac{3 \cdot 3}{3} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Étape 6.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 \cdot 3}{3 (1)} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Étape 6.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Étape 6.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{1} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Étape 6.2.2.4

Divisez $3$ par $1$ .

$3 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Étape 7

Utilisez la formule de l’angle moitié pour réécrire $\cos^{2} (u_{1})$ en $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$3 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

Étape 8

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$3 (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Étape 9

Associez $\frac{1}{2}$ et $3$ .

$\frac{3}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Étape 10

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{3}{2} (\int_{0}^{\frac{π}{2}} d u_{1} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Étape 11

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{3}{2} (u_{1}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Étape 12

Laissez $u_{2} = 2 u_{1}$ . Alors $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , donc $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 12.1

Laissez $u_{2} = 2 u_{1}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Étape 12.1.1

Différenciez $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Étape 12.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $u_{1}$ , la dérivée de $2 u_{1}$ par rapport à $u_{1}$ est $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Étape 12.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 12.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 12.2

Remplacez la limite inférieure pour $u_{1}$ dans $u_{2} = 2 u_{1}$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Étape 12.3

Multipliez $2$ par $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 12.4

Remplacez la limite supérieure pour $u_{1}$ dans $u_{2} = 2 u_{1}$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Étape 12.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 12.5.1

Annulez le facteur commun.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Étape 12.5.2

Réécrivez l’expression.

$u_{upper} = π$

Étape 12.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = π$

Étape 12.7

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ , $d u_{2}$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\frac{3}{2} (u_{1}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{π} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Étape 13

Associez $\cos (u_{2})$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2} (u_{1}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{π} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Étape 14

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{3}{2} (u_{1}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{0}^{π} \cos (u_{2}) d u_{2})$

Étape 15

L’intégrale de $\cos (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\sin (u_{2})$ .

$\frac{3}{2} (u_{1}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{π})$

Étape 16

Remplacez et simplifiez.

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Étape 16.1

Évaluez $u_{1}$ sur $\frac{π}{2}$ et sur $0$ .

$\frac{3}{2} ((\frac{π}{2}) + 0 + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{π})$

Étape 16.2

Évaluez $\sin (u_{2})$ sur $π$ et sur $0$ .

$\frac{3}{2} ((\frac{π}{2}) + 0 + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (0)))$

Étape 16.3

Additionnez $\frac{π}{2}$ et $0$ .

$\frac{3}{2} (\frac{π}{2} + \frac{1}{2} (\sin (π) - \sin (0)))$

Étape 17

Simplifiez

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Étape 17.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{3}{2} (\frac{π}{2} + \frac{1}{2} (\sin (π) - 0))$

Étape 17.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{3}{2} (\frac{π}{2} + \frac{1}{2} (\sin (π) + 0))$

Étape 17.3

Additionnez $\sin (π)$ et $0$ .

$\frac{3}{2} (\frac{π}{2} + \frac{1}{2} \sin (π))$

Étape 17.4

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sin (π)$ .

$\frac{3}{2} (\frac{π}{2} + \frac{\sin (π)}{2})$

Étape 18

Simplifiez

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Étape 18.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{π + \sin (π)}{2}$

Étape 18.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 18.2.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{π + \sin (0)}{2}$

Étape 18.2.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{π + 0}{2}$

Étape 18.3

Additionnez $π$ et $0$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{π}{2}$

Étape 18.4

Multipliez $\frac{3}{2} \cdot \frac{π}{2}$ .

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Étape 18.4.1

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $\frac{π}{2}$ .

$\frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Étape 18.4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{3 π}{4}$

Étape 19

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{3 π}{4}$

Forme décimale :

$2.35619449 \dots$