Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 5 x - 2 x^{3} - 2$ is concave down at $x = 1$

Étape 1

Déterminez la valeur $y$ correspondant à $x = 1$ .

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Étape 1.1

Remplacez $x$ dans par $1$ .

$y = 5 (1) - 2 {(1)}^{3} - 2$

Étape 1.2

Résolvez $y$ .

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Étape 1.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 5 (1) - 2 \cdot 1^{3} - 2$

Étape 1.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = 5 (1) - 2 {(1)}^{3} - 2$

Étape 1.2.3

Simplifiez $5 (1) - 2 {(1)}^{3} - 2$ .

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Étape 1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.3.1.1

Multipliez $5$ par $1$ .

$y = 5 - 2 {(1)}^{3} - 2$

Étape 1.2.3.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$y = 5 - 2 \cdot 1 - 2$

Étape 1.2.3.1.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$y = 5 - 2 - 2$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 1.2.3.2.1

Soustrayez $2$ de $5$ .

$y = 3 - 2$

Étape 1.2.3.2.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$y = 1$

Étape 2

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 1$ et $y = 1$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x - 2 x^{3} - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 2.2.3

Multipliez $5$ par $1$ .

$5 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 - 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$5 - 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 2.3.3

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$5 - 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 2.4

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$5 - 6 x^{2} + 0$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Additionnez $5 - 6 x^{2}$ et $0$ .

$5 - 6 x^{2}$

Étape 2.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 6 x^{2} + 5$

Étape 2.6

Évaluez la dérivée sur $x = 1$ .

$- 6 {(1)}^{2} + 5$

Étape 2.7

Simplifiez

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Étape 2.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.7.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- 6 \cdot 1 + 5$

Étape 2.7.1.2

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$- 6 + 5$

Étape 2.7.2

Additionnez $- 6$ et $5$ .

$- 1$

Étape 3

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Utilisez la pente $- 1$ et un point donné, tel que $(1, 1)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - 1 \cdot (x - (1))$

Étape 3.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 1 = - 1 \cdot (x - 1)$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Simplifiez $- 1 \cdot (x - 1)$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez.

$y - 1 = 0 + 0 - 1 \cdot (x - 1)$

Étape 3.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 1 = - 1 \cdot (x - 1)$

Étape 3.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 1 = - 1 x - 1 \cdot - 1$

Étape 3.3.1.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.1.4.1

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$y - 1 = - x - 1 \cdot - 1$

Étape 3.3.1.4.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y - 1 = - x + 1$

Étape 3.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.3.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$y = - x + 1 + 1$

Étape 3.3.2.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = - x + 2$

Étape 4