Calcul infinitésimal Exemples

$\int 6 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} d x$

Étape 1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , placez $6$ en dehors de l’intégrale.

$6 \int x {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} d x$

Étape 2

Laissez $u = x^{2} + 1$ . Alors $d u = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Laissez $u = x^{2} + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Différenciez $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Étape 2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x + 0$

Étape 2.1.5

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$2 x$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$6 \int u^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} d u$

Étape 3

Associez $u^{\frac{3}{2}}$ et $\frac{1}{2}$ .

$6 \int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u$

Étape 4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$6 (\frac{1}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

Étape 5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $6$ .

$\frac{6}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun à $6$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Étape 5.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 (1)} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Étape 5.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Étape 5.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{1} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Étape 5.2.2.4

Divisez $3$ par $1$ .

$3 \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$3 (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$

Étape 7

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Réécrivez $3 (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$ comme $3 (\frac{2}{5}) u^{\frac{5}{2}} + C$ .

$3 (\frac{2}{5}) u^{\frac{5}{2}} + C$

Étape 7.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Associez $3$ et $\frac{2}{5}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

Étape 7.2.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{6}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

Étape 8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 1$ .

$\frac{6}{5} {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} + C$