Calcul infinitésimal Exemples

$2 x \ln (5 x^{2})$

Étape 1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x \ln (5 x^{2})$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x \ln (5 x^{2})]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x \ln (5 x^{2})]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \ln (5 x^{2})$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [\ln (5 x^{2})] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 5 x^{2}$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $5 x^{2}$ .

$2 (x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [5 x^{2}]) + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$2 (x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [5 x^{2}]) + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $5 x^{2}$ .

$2 (x (\frac{1}{5 x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}]) + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Associez $\frac{1}{5 x^{2}}$ et $x$ .

$2 (\frac{x}{5 x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

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Étape 4.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 (\frac{x^{1}}{5 x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$2 (\frac{x \cdot 1}{5 x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.2.3

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.3.1

Factorisez $x$ à partir de $5 x^{2}$ .

$2 (\frac{x \cdot 1}{x (5 x)} \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.2.3.2

Annulez le facteur commun.

$2 (\frac{x \cdot 1}{x (5 x)} \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.2.3.3

Réécrivez l’expression.

$2 (\frac{1}{5 x} \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.3

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 (\frac{1}{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.4

Simplifiez les termes.

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Étape 4.4.1

Associez $5$ et $\frac{1}{5 x}$ .

$2 (\frac{5}{5 x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.4.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 4.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 (\frac{5}{5 x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.4.2.2

Réécrivez l’expression.

$2 (\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (\frac{1}{x} (2 x) + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.6

Simplifiez les termes.

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Étape 4.6.1

Associez $2$ et $\frac{1}{x}$ .

$2 (\frac{2}{x} x + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.6.2

Associez $\frac{2}{x}$ et $x$ .

$2 (\frac{2 x}{x} + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.6.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 4.6.3.1

Annulez le facteur commun.

$2 (\frac{2 x}{x} + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.6.3.2

Divisez $2$ par $1$ .

$2 (2 + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 (2 + \ln (5 x^{2}) \cdot 1)$

Étape 4.8

Multipliez $\ln (5 x^{2})$ par $1$ .

$2 (2 + \ln (5 x^{2}))$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 \cdot 2 + 2 \ln (5 x^{2})$

Étape 5.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 + 2 \ln (5 x^{2})$

Étape 5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 \ln (5 x^{2}) + 4$