Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{6 t^{2} - 6}{2 t - 4}$

Étape 1

Annulez le facteur commun à $6 t^{2} - 6$ et $2 t - 4$ .

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Étape 1.1

Factorisez $2$ à partir de $6 t^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{2 (3 t^{2}) - 6}{2 t - 4}]$

Étape 1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 6$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{2 (3 t^{2}) + 2 \cdot - 3}{2 t - 4}]$

Étape 1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (3 t^{2}) + 2 (- 3)$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{2 (3 t^{2} - 3)}{2 t - 4}]$

Étape 1.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{2 (3 t^{2} - 3)}{2 (t) - 4}]$

Étape 1.4.2

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{2 (3 t^{2} - 3)}{2 t + 2 \cdot - 2}]$

Étape 1.4.3

Factorisez $2$ à partir de $2 t + 2 \cdot - 2$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{2 (3 t^{2} - 3)}{2 (t - 2)}]$

Étape 1.4.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{d}{d t} [\frac{2 (3 t^{2} - 3)}{2 (t - 2)}]$

Étape 1.4.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{d}{d t} [\frac{3 t^{2} - 3}{t - 2}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ est $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ où $f (t) = 3 t^{2} - 3$ et $g (t) = t - 2$ .

$\frac{(t - 2) \frac{d}{d t} [3 t^{2} - 3] - (3 t^{2} - 3) \frac{d}{d t} [t - 2]}{{(t - 2)}^{2}}$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 t^{2} - 3$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]$ .

$\frac{(t - 2) (\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]) - (3 t^{2} - 3) \frac{d}{d t} [t - 2]}{{(t - 2)}^{2}}$

Étape 3.2

Comme $3$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $3 t^{2}$ par rapport à $t$ est $3 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{(t - 2) (3 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]) - (3 t^{2} - 3) \frac{d}{d t} [t - 2]}{{(t - 2)}^{2}}$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(t - 2) (3 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 3]) - (3 t^{2} - 3) \frac{d}{d t} [t - 2]}{{(t - 2)}^{2}}$

Étape 3.4

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{(t - 2) (6 t + \frac{d}{d t} [- 3]) - (3 t^{2} - 3) \frac{d}{d t} [t - 2]}{{(t - 2)}^{2}}$

Étape 3.5

Comme $- 3$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $t$ est $0$ .

$\frac{(t - 2) (6 t + 0) - (3 t^{2} - 3) \frac{d}{d t} [t - 2]}{{(t - 2)}^{2}}$

Étape 3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.6.1

Additionnez $6 t$ et $0$ .

$\frac{(t - 2) (6 t) - (3 t^{2} - 3) \frac{d}{d t} [t - 2]}{{(t - 2)}^{2}}$

Étape 3.6.2

Déplacez $6$ à gauche de $t - 2$ .

$\frac{6 \cdot (t - 2) t - (3 t^{2} - 3) \frac{d}{d t} [t - 2]}{{(t - 2)}^{2}}$

Étape 3.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t - 2$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 2]$ .

$\frac{6 (t - 2) t - (3 t^{2} - 3) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 2])}{{(t - 2)}^{2}}$

Étape 3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{6 (t - 2) t - (3 t^{2} - 3) (1 + \frac{d}{d t} [- 2])}{{(t - 2)}^{2}}$

Étape 3.9

Comme $- 2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $t$ est $0$ .

$\frac{6 (t - 2) t - (3 t^{2} - 3) (1 + 0)}{{(t - 2)}^{2}}$

Étape 3.10

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.10.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{6 (t - 2) t - (3 t^{2} - 3) \cdot 1}{{(t - 2)}^{2}}$

Étape 3.10.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{6 (t - 2) t - (3 t^{2} - 3)}{{(t - 2)}^{2}}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(6 t + 6 \cdot - 2) t - (3 t^{2} - 3)}{{(t - 2)}^{2}}$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 t \cdot t + 6 \cdot - 2 t - (3 t^{2} - 3)}{{(t - 2)}^{2}}$

Étape 4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 t \cdot t + 6 \cdot - 2 t - (3 t^{2}) - - 3}{{(t - 2)}^{2}}$

Étape 4.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.4.1.1

Multipliez $t$ par $t$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.4.1.1.1

Déplacez $t$ .

$\frac{6 (t \cdot t) + 6 \cdot - 2 t - (3 t^{2}) - - 3}{{(t - 2)}^{2}}$

Étape 4.4.1.1.2

Multipliez $t$ par $t$ .

$\frac{6 t^{2} + 6 \cdot - 2 t - (3 t^{2}) - - 3}{{(t - 2)}^{2}}$

Étape 4.4.1.2

Multipliez $6$ par $- 2$ .

$\frac{6 t^{2} - 12 t - (3 t^{2}) - - 3}{{(t - 2)}^{2}}$

Étape 4.4.1.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{6 t^{2} - 12 t - 3 t^{2} - - 3}{{(t - 2)}^{2}}$

Étape 4.4.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$\frac{6 t^{2} - 12 t - 3 t^{2} + 3}{{(t - 2)}^{2}}$

Étape 4.4.2

Soustrayez $3 t^{2}$ de $6 t^{2}$ .

$\frac{3 t^{2} - 12 t + 3}{{(t - 2)}^{2}}$

Étape 4.5

Factorisez $3$ à partir de $3 t^{2} - 12 t + 3$ .

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Étape 4.5.1

Factorisez $3$ à partir de $3 t^{2}$ .

$\frac{3 (t^{2}) - 12 t + 3}{{(t - 2)}^{2}}$

Étape 4.5.2

Factorisez $3$ à partir de $- 12 t$ .

$\frac{3 (t^{2}) + 3 (- 4 t) + 3}{{(t - 2)}^{2}}$

Étape 4.5.3

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 (t^{2}) + 3 (- 4 t) + 3 (1)}{{(t - 2)}^{2}}$

Étape 4.5.4

Factorisez $3$ à partir de $3 (t^{2}) + 3 (- 4 t)$ .

$\frac{3 (t^{2} - 4 t) + 3 (1)}{{(t - 2)}^{2}}$

Étape 4.5.5

Factorisez $3$ à partir de $3 (t^{2} - 4 t) + 3 (1)$ .

$\frac{3 (t^{2} - 4 t + 1)}{{(t - 2)}^{2}}$