Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{2} - x^{2} \cos (x)$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{2} - x^{2} \cos (x))$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez.

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Étape 3.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - x^{2} \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} \cos (x)]$

Étape 3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- x^{2} \cos (x)]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2} \cos (x)]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2} \cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x)]$ .

$2 x - \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x)]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \cos (x)$ .

$2 x - (x^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3.2.3

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$2 x - (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x - (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x))$

Étape 3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 x - (x^{2} (- \sin (x))) - (\cos (x) (2 x))$

Étape 3.3.2

Associez des termes.

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Étape 3.3.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$2 x + 1 (x^{2} (\sin (x))) - (\cos (x) (2 x))$

Étape 3.3.2.2

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$2 x + x^{2} \sin (x) - (\cos (x) (2 x))$

Étape 3.3.2.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2 x + x^{2} \sin (x) - 2 \cos (x) x$

Étape 3.3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$x^{2} \sin (x) - 2 x \cos (x) + 2 x$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = x^{2} \sin (x) - 2 x \cos (x) + 2 x$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = x^{2} \sin (x) - 2 x \cos (x) + 2 x$