Calcul infinitésimal Exemples

$\int x^{3} {(2 + x^{4})}^{5} d x$

Étape 1

Laissez $u = 2 + x^{4}$ . Alors $d u = 4 x^{3} d x$ , donc $\frac{1}{4} d u = x^{3} d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 2 + x^{4}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $2 + x^{4}$ .

$\frac{d}{d x} [2 + x^{4}]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 + x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 1.1.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$0 + 4 x^{3}$

Étape 1.1.5

Additionnez $0$ et $4 x^{3}$ .

$4 x^{3}$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int u^{5} \frac{1}{4} d u$

Étape 2

Associez $u^{5}$ et $\frac{1}{4}$ .

$\int \frac{u^{5}}{4} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} \int u^{5} d u$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{5}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{6} u^{6} + C)$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Réécrivez $\frac{1}{4} (\frac{1}{6} u^{6} + C)$ comme $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{6} u^{6} + C$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{6} u^{6} + C$

Étape 5.2

Réécrivez $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{6} u^{6} + C$ comme $\frac{1}{24} u^{6} + C$ .

$\frac{1}{24} u^{6} + C$

Étape 6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 + x^{4}$ .

$\frac{1}{24} {(2 + x^{4})}^{6} + C$