Calcul infinitésimal Exemples

$y = \sin (2 x)$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\sin (2 x))$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = \sin (y)$ et $g (y) = 2 x$ .

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Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d y} [2 x]$

Étape 3.1.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d y} [2 x]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$\cos (2 x) \frac{d}{d y} [2 x]$

Étape 3.2

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $y$ est $2 \frac{d}{d y} [x]$ .

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d y} [x])$

Étape 3.3

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$\cos (2 x) (2 x')$

Étape 3.4

Réorganisez les facteurs de $\cos (2 x) (2 x')$ .

$2 \cos (2 x) x'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$1 = 2 \cos (2 x) x'$

Étape 5

Résolvez $x'$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $2 \cos (2 x) x' = 1$ .

$2 \cos (2 x) x' = 1$

Étape 5.2

Divisez chaque terme dans $2 \cos (2 x) x' = 1$ par $2 \cos (2 x)$ et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Divisez chaque terme dans $2 \cos (2 x) x' = 1$ par $2 \cos (2 x)$ .

$\frac{2 \cos (2 x) x'}{2 \cos (2 x)} = \frac{1}{2 \cos (2 x)}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cos (2 x) x'}{2 \cos (2 x)} = \frac{1}{2 \cos (2 x)}$

Étape 5.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\cos (2 x) x'}{\cos (2 x)} = \frac{1}{2 \cos (2 x)}$

Étape 5.2.2.2

Annulez le facteur commun de $\cos (2 x)$ .

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Étape 5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos (2 x) x'}{\cos (2 x)} = \frac{1}{2 \cos (2 x)}$

Étape 5.2.2.2.2

Divisez $x'$ par $1$ .

$x' = \frac{1}{2 \cos (2 x)}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.3.1

Séparez les fractions.

$x' = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)}$

Étape 5.2.3.2

Convertissez de $\frac{1}{\cos (2 x)}$ à $\sec (2 x)$ .

$x' = \frac{1}{2} \sec (2 x)$

Étape 5.2.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sec (2 x)$ .

$x' = \frac{\sec (2 x)}{2}$

Étape 6

Remplacez $x'$ par $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{\sec (2 x)}{2}$