Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{9}{x^{10}} + \frac{8}{x^{9}}$

Étape 1

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 2

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{9}{x^{10}} + \frac{8}{x^{9}} d x$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{9}{x^{10}} d x + \int \frac{8}{x^{9}} d x$

Étape 4

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , placez $9$ en dehors de l’intégrale.

$9 \int \frac{1}{x^{10}} d x + \int \frac{8}{x^{9}} d x$

Étape 5

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 5.1

Retirez $x^{10}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$9 \int {(x^{10})}^{- 1} d x + \int \frac{8}{x^{9}} d x$

Étape 5.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{10})}^{- 1}$ .

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Étape 5.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 \int x^{10 \cdot - 1} d x + \int \frac{8}{x^{9}} d x$

Étape 5.2.2

Multipliez $10$ par $- 1$ .

$9 \int x^{- 10} d x + \int \frac{8}{x^{9}} d x$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 10}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{9} x^{- 9}$ .

$9 (- \frac{1}{9} x^{- 9} + C) + \int \frac{8}{x^{9}} d x$

Étape 7

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Étape 7.1

Associez $x^{- 9}$ et $\frac{1}{9}$ .

$9 (- \frac{x^{- 9}}{9} + C) + \int \frac{8}{x^{9}} d x$

Étape 7.2

Placez $x^{- 9}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$9 (- \frac{1}{9 x^{9}} + C) + \int \frac{8}{x^{9}} d x$

Étape 8

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , placez $8$ en dehors de l’intégrale.

$9 (- \frac{1}{9 x^{9}} + C) + 8 \int \frac{1}{x^{9}} d x$

Étape 9

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 9.1

Retirez $x^{9}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$9 (- \frac{1}{9 x^{9}} + C) + 8 \int {(x^{9})}^{- 1} d x$

Étape 9.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{9})}^{- 1}$ .

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Étape 9.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 (- \frac{1}{9 x^{9}} + C) + 8 \int x^{9 \cdot - 1} d x$

Étape 9.2.2

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$9 (- \frac{1}{9 x^{9}} + C) + 8 \int x^{- 9} d x$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 9}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{8} x^{- 8}$ .

$9 (- \frac{1}{9 x^{9}} + C) + 8 (- \frac{1}{8} x^{- 8} + C)$

Étape 11

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Étape 11.1

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Étape 11.1.1

Associez $x^{- 8}$ et $\frac{1}{8}$ .

$9 (- \frac{1}{9 x^{9}} + C) + 8 (- \frac{x^{- 8}}{8} + C)$

Étape 11.1.2

Placez $x^{- 8}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$9 (- \frac{1}{9 x^{9}} + C) + 8 (- \frac{1}{8 x^{8}} + C)$

Étape 11.2

Simplifiez

$\frac{- 1}{x^{9}} + 8 (- \frac{1}{8 x^{8}}) + C$

Étape 11.3

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Étape 11.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{x^{9}} + 8 (- \frac{1}{8 x^{8}}) + C$

Étape 11.3.2

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$- \frac{1}{x^{9}} - 8 \frac{1}{8 x^{8}} + C$

Étape 11.3.3

Associez $- 8$ et $\frac{1}{8 x^{8}}$ .

$- \frac{1}{x^{9}} + \frac{- 8}{8 x^{8}} + C$

Étape 11.3.4

Annulez le facteur commun à $- 8$ et $8$ .

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Étape 11.3.4.1

Factorisez $8$ à partir de $- 8$ .

$- \frac{1}{x^{9}} + \frac{8 \cdot - 1}{8 x^{8}} + C$

Étape 11.3.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.3.4.2.1

Factorisez $8$ à partir de $8 x^{8}$ .

$- \frac{1}{x^{9}} + \frac{8 \cdot - 1}{8 (x^{8})} + C$

Étape 11.3.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{x^{9}} + \frac{8 \cdot - 1}{8 x^{8}} + C$

Étape 11.3.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{x^{9}} + \frac{- 1}{x^{8}} + C$

Étape 11.3.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{x^{9}} - \frac{1}{x^{8}} + C$

Étape 12

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{9}{x^{10}} + \frac{8}{x^{9}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{x^{9}} - \frac{1}{x^{8}} + C$