Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = {(1 - 2 x)}^{3}$

Étape 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = 1 - 2 x$ .

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Étape 1.1.1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $1 - 2 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

Étape 1.1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

Étape 1.1.1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 - 2 x$ .

$3 {(1 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

Étape 1.1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$3 {(1 - 2 x)}^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Étape 1.1.1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 {(1 - 2 x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Étape 1.1.1.2.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$3 {(1 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Étape 1.1.1.2.4

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 {(1 - 2 x)}^{2} (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.1.1.2.5

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$- 6 {(1 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.1.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 6 {(1 - 2 x)}^{2} \cdot 1$

Étape 1.1.1.2.7

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$f' (x) = - 6 {(1 - 2 x)}^{2}$

Étape 1.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.2.1

Réécrivez ${(1 - 2 x)}^{2}$ comme $(1 - 2 x) (1 - 2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 ((1 - 2 x) (1 - 2 x))]$

Étape 1.1.2.2

Développez $(1 - 2 x) (1 - 2 x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 (1 - 2 x) - 2 x (1 - 2 x))]$

Étape 1.1.2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 \cdot 1 + 1 (- 2 x) - 2 x (1 - 2 x))]$

Étape 1.1.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 \cdot 1 + 1 (- 2 x) - 2 x \cdot 1 - 2 x (- 2 x))]$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.3.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 + 1 (- 2 x) - 2 x \cdot 1 - 2 x (- 2 x))]$

Étape 1.1.2.3.1.2

Multipliez $- 2 x$ par $1$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 - 2 x - 2 x \cdot 1 - 2 x (- 2 x))]$

Étape 1.1.2.3.1.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 - 2 x - 2 x - 2 x (- 2 x))]$

Étape 1.1.2.3.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 - 2 x - 2 x - 2 \cdot - 2 x \cdot x)]$

Étape 1.1.2.3.1.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.2.3.1.5.1

Déplacez $x$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 - 2 x - 2 x - 2 \cdot - 2 (x \cdot x))]$

Étape 1.1.2.3.1.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 - 2 x - 2 x - 2 \cdot - 2 x^{2})]$

Étape 1.1.2.3.1.6

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 - 2 x - 2 x + 4 x^{2})]$

Étape 1.1.2.3.2

Soustrayez $2 x$ de $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 - 4 x + 4 x^{2})]$

Étape 1.1.2.4

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 (1 - 4 x + 4 x^{2})$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [1 - 4 x + 4 x^{2}]$ .

$- 6 \frac{d}{d x} [1 - 4 x + 4 x^{2}]$

Étape 1.1.2.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - 4 x + 4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

$- 6 (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

Étape 1.1.2.6

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 6 (0 + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

Étape 1.1.2.7

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$- 6 (\frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

Étape 1.1.2.8

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 (- 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

Étape 1.1.2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 6 (- 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

Étape 1.1.2.10

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$- 6 (- 4 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

Étape 1.1.2.11

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 6 (- 4 + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 1.1.2.12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 6 (- 4 + 4 (2 x))$

Étape 1.1.2.13

Multipliez $2$ par $4$ .

$- 6 (- 4 + 8 x)$

Étape 1.1.2.14

Simplifiez

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Étape 1.1.2.14.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 6 \cdot - 4 - 6 (8 x)$

Étape 1.1.2.14.2

Associez des termes.

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Étape 1.1.2.14.2.1

Multipliez $- 6$ par $- 4$ .

$24 - 6 (8 x)$

Étape 1.1.2.14.2.2

Multipliez $8$ par $- 6$ .

$24 - 48 x$

Étape 1.1.2.14.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = - 48 x + 24$

Étape 1.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 48 x + 24$ .

$- 48 x + 24$

Étape 1.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 48 x + 24 = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$- 48 x + 24 = 0$

Étape 1.2.2

Soustrayez $24$ des deux côtés de l’équation.

$- 48 x = - 24$

Étape 1.2.3

Divisez chaque terme dans $- 48 x = - 24$ par $- 48$ et simplifiez.

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Étape 1.2.3.1

Divisez chaque terme dans $- 48 x = - 24$ par $- 48$ .

$\frac{- 48 x}{- 48} = \frac{- 24}{- 48}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 48$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 48 x}{- 48} = \frac{- 24}{- 48}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 24}{- 48}$

Étape 1.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.3.1

Annulez le facteur commun à $- 24$ et $- 48$ .

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Étape 1.2.3.3.1.1

Factorisez $- 24$ à partir de $- 24$ .

$x = \frac{- 24 (1)}{- 48}$

Étape 1.2.3.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.3.3.1.2.1

Factorisez $- 24$ à partir de $- 48$ .

$x = \frac{- 24 \cdot 1}{- 24 \cdot 2}$

Étape 1.2.3.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{- 24 \cdot 1}{- 24 \cdot 2}$

Étape 1.2.3.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{1}{2}$

Étape 2

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 3

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

Étape 4

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \infty, \frac{1}{2})$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f'' (0) = - 48 \cdot 0 + 24$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Multipliez $- 48$ par $0$ .

$f'' (0) = 0 + 24$

Étape 4.2.2

Additionnez $0$ et $24$ .

$f'' (0) = 24$

Étape 4.2.3

La réponse finale est $24$ .

$24$

Étape 4.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(- \infty, \frac{1}{2})$ car $f'' (0)$ est positif.

Le graphe est concave vers le haut

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(\frac{1}{2}, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f'' (3) = - 48 \cdot 3 + 24$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Multipliez $- 48$ par $3$ .

$f'' (3) = - 144 + 24$

Étape 5.2.2

Additionnez $- 144$ et $24$ .

$f'' (3) = - 120$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $- 120$ .

$- 120$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(\frac{1}{2}, \infty)$ car $f'' (3)$ est négatif.

Le graphe est concave vers le bas

Étape 6

Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.

Le graphe est concave vers le haut

Le graphe est concave vers le bas

Étape 7