Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{i = 1}^{25} {(i^{2} + 2)}^{2}$

Étape 1

Simplifiez l’addition.

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Étape 1.1

Réécrivez ${(i^{2} + 2)}^{2}$ comme $(i^{2} + 2) (i^{2} + 2)$ .

$(i^{2} + 2) (i^{2} + 2)$

Étape 1.2

Développez $(i^{2} + 2) (i^{2} + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$i^{2} (i^{2} + 2) + 2 (i^{2} + 2)$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$i^{2} i^{2} + i^{2} \cdot 2 + 2 (i^{2} + 2)$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$i^{2} i^{2} + i^{2} \cdot 2 + 2 i^{2} + 2 \cdot 2$

Étape 1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Multipliez $i^{2}$ par $i^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.1.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$i^{2 + 2} + i^{2} \cdot 2 + 2 i^{2} + 2 \cdot 2$

Étape 1.3.1.1.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$i^{4} + i^{2} \cdot 2 + 2 i^{2} + 2 \cdot 2$

Étape 1.3.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $i^{2}$ .

$i^{4} + 2 \cdot i^{2} + 2 i^{2} + 2 \cdot 2$

Étape 1.3.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$i^{4} + 2 i^{2} + 2 i^{2} + 4$

Étape 1.3.2

Additionnez $2 i^{2}$ et $2 i^{2}$ .

$i^{4} + 4 i^{2} + 4$

Étape 1.4

Réécrivez l’addition.

$\sum_{i = 1}^{25} i^{4} + 4 i^{2} + 4$

Étape 2

Divisez l’addition en plus petites additions qui respectent les règles de l’addition.

$\sum_{i = 1}^{25} i^{4} + 4 i^{2} + 4 = \sum_{i = 1}^{25} i^{4} + 4 \sum_{i = 1}^{25} i^{2} + \sum_{i = 1}^{25} 4$

Étape 3

Évaluez $\sum_{i = 1}^{25} i^{4}$ .

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Étape 3.1

Développez la série pour chaque valeur de $i$ .

$1^{4} + 2^{4} + 3^{4} + \dots + 25^{4}$

Étape 3.2

Simplifiez la forme développée.

$2153645$

Étape 4

Évaluez $4 \sum_{i = 1}^{25} i^{2}$ .

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Étape 4.1

La formule pour la sommation d’un polynôme avec degré $2$ est :

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Étape 4.2

Remplacez les valeurs dans la formule et veillez à multiplier par le terme à l’avant.

$(4) (\frac{25 (25 + 1) (2 \cdot 25 + 1)}{6})$

Étape 4.3

Simplifiez

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Étape 4.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.1.1

Additionnez $25$ et $1$ .

$4 \frac{25 \cdot 26 (2 \cdot 25 + 1)}{6}$

Étape 4.3.1.2

Associez les exposants.

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Étape 4.3.1.2.1

Multipliez $25$ par $26$ .

$4 \frac{650 (2 \cdot 25 + 1)}{6}$

Étape 4.3.1.2.2

Multipliez $2$ par $25$ .

$4 \frac{650 (50 + 1)}{6}$

Étape 4.3.1.3

Additionnez $50$ et $1$ .

$4 \frac{650 \cdot 51}{6}$

Étape 4.3.2

Simplifiez les termes.

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Étape 4.3.2.1

Multipliez $650$ par $51$ .

$4 (\frac{33150}{6})$

Étape 4.3.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$2 (2) \frac{33150}{6}$

Étape 4.3.2.2.2

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$2 \cdot 2 \frac{33150}{2 \cdot 3}$

Étape 4.3.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot 2 \frac{33150}{2 \cdot 3}$

Étape 4.3.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$2 (\frac{33150}{3})$

Étape 4.3.2.3

Associez $2$ et $\frac{33150}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 33150}{3}$

Étape 4.3.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.3.2.4.1

Multipliez $2$ par $33150$ .

$\frac{66300}{3}$

Étape 4.3.2.4.2

Divisez $66300$ par $3$ .

$22100$

Étape 5

Évaluez $\sum_{i = 1}^{25} 4$ .

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Étape 5.1

La formule pour la sommation d’une constante est :

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs dans la formule.

$(4) (25)$

Étape 5.3

Multipliez $4$ par $25$ .

$100$

Étape 6

Additionnez les résultats des additions.

$2153645 + 22100 + 100$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Additionnez $2153645$ et $22100$ .

$2175745 + 100$

Étape 7.2

Additionnez $2175745$ et $100$ .

$2175845$