Calcul infinitésimal Exemples

$- y^{2} - x y^{3} - x^{3} = - 2$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (- y^{2} - x y^{3} - x^{3}) = \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- y^{2} - x y^{3} - x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- y^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $y$ .

$- (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Étape 2.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Étape 2.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $y$ .

$- (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Étape 2.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$- (2 y y') + \frac{d}{d x} [- x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Étape 2.2.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 y y' + \frac{d}{d x} [- x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x y^{3}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x y^{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x y^{3}]$ .

$- 2 y y' - \frac{d}{d x} [x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y^{3}$ .

$- 2 y y' - (x \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $y$ .

$- 2 y y' - (x (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Étape 2.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- 2 y y' - (x (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Étape 2.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $y$ .

$- 2 y y' - (x (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Étape 2.3.4

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$- 2 y y' - (x (3 y^{2} y') + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Étape 2.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 y y' - (x (3 y^{2} y') + y^{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Étape 2.3.6

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$- 2 y y' - (3 \cdot x y^{2} y' + y^{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Étape 2.3.7

Multipliez $y^{3}$ par $1$ .

$- 2 y y' - (3 x y^{2} y' + y^{3}) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 2 y y' - (3 x y^{2} y' + y^{3}) - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- 2 y y' - (3 x y^{2} y' + y^{3}) - (3 x^{2})$

Étape 2.4.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- 2 y y' - (3 x y^{2} y' + y^{3}) - 3 x^{2}$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 y y' - (3 x y^{2} y') - y^{3} - 3 x^{2}$

Étape 2.5.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- 2 y y' - 3 x y^{2} y' - y^{3} - 3 x^{2}$

Étape 2.5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$- y^{3} - 3 x^{2} - 2 y y' - 3 y^{2} x y'$

Étape 3

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$- y^{3} - 3 x^{2} - 2 y y' - 3 y^{2} x y' = 0$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.1.1

Ajoutez $y^{3}$ aux deux côtés de l’équation.

$- 3 x^{2} - 2 y y' - 3 y^{2} x y' = y^{3}$

Étape 5.1.2

Ajoutez $3 x^{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$- 2 y y' - 3 y^{2} x y' = y^{3} + 3 x^{2}$

Étape 5.2

Factorisez $y y'$ à partir de $- 2 y y' - 3 y^{2} x y'$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $y y'$ à partir de $- 2 y y'$ .

$y y' \cdot - 2 - 3 y^{2} x y' = y^{3} + 3 x^{2}$

Étape 5.2.2

Factorisez $y y'$ à partir de $- 3 y^{2} x y'$ .

$y y' \cdot - 2 + y y' (- 3 y x) = y^{3} + 3 x^{2}$

Étape 5.2.3

Factorisez $y y'$ à partir de $y y' \cdot - 2 + y y' (- 3 y x)$ .

$y y' (- 2 - 3 y x) = y^{3} + 3 x^{2}$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $y y' (- 2 - 3 y x) = y^{3} + 3 x^{2}$ par $y (- 2 - 3 y x)$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $y y' (- 2 - 3 y x) = y^{3} + 3 x^{2}$ par $y (- 2 - 3 y x)$ .

$\frac{y y' (- 2 - 3 y x)}{y (- 2 - 3 y x)} = \frac{y^{3}}{y (- 2 - 3 y x)} + \frac{3 x^{2}}{y (- 2 - 3 y x)}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y y' (- 2 - 3 y x)}{y (- 2 - 3 y x)} = \frac{y^{3}}{y (- 2 - 3 y x)} + \frac{3 x^{2}}{y (- 2 - 3 y x)}$

Étape 5.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (- 2 - 3 y x)}{- 2 - 3 y x} = \frac{y^{3}}{y (- 2 - 3 y x)} + \frac{3 x^{2}}{y (- 2 - 3 y x)}$

Étape 5.3.2.2

Annulez le facteur commun de $- 2 - 3 y x$ .

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Étape 5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (- 2 - 3 y x)}{- 2 - 3 y x} = \frac{y^{3}}{y (- 2 - 3 y x)} + \frac{3 x^{2}}{y (- 2 - 3 y x)}$

Étape 5.3.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{y^{3}}{y (- 2 - 3 y x)} + \frac{3 x^{2}}{y (- 2 - 3 y x)}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Annulez le facteur commun à $y^{3}$ et $y$ .

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Étape 5.3.3.1.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{3}$ .

$y' = \frac{y \cdot y^{2}}{y (- 2 - 3 y x)} + \frac{3 x^{2}}{y (- 2 - 3 y x)}$

Étape 5.3.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{y \cdot y^{2}}{y (- 2 - 3 y x)} + \frac{3 x^{2}}{y (- 2 - 3 y x)}$

Étape 5.3.3.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{y^{2}}{- 2 - 3 y x} + \frac{3 x^{2}}{y (- 2 - 3 y x)}$

Étape 5.3.3.2

Pour écrire $\frac{y^{2}}{- 2 - 3 y x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y}{y}$ .

$y' = \frac{y^{2}}{- 2 - 3 y x} \cdot \frac{y}{y} + \frac{3 x^{2}}{y (- 2 - 3 y x)}$

Étape 5.3.3.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(- 2 - 3 y x) y$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.3.3.3.1

Multipliez $\frac{y^{2}}{- 2 - 3 y x}$ par $\frac{y}{y}$ .

$y' = \frac{y^{2} y}{(- 2 - 3 y x) y} + \frac{3 x^{2}}{y (- 2 - 3 y x)}$

Étape 5.3.3.3.2

Réorganisez les facteurs de $(- 2 - 3 y x) y$ .

$y' = \frac{y^{2} y}{y (- 2 - 3 y x)} + \frac{3 x^{2}}{y (- 2 - 3 y x)}$

Étape 5.3.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{y^{2} y + 3 x^{2}}{y (- 2 - 3 y x)}$

Étape 5.3.3.5

Multipliez $y^{2}$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.3.5.1

Multipliez $y^{2}$ par $y$ .

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Étape 5.3.3.5.1.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$y' = \frac{y^{2} y^{1} + 3 x^{2}}{y (- 2 - 3 y x)}$

Étape 5.3.3.5.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y' = \frac{y^{2 + 1} + 3 x^{2}}{y (- 2 - 3 y x)}$

Étape 5.3.3.5.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$y' = \frac{y^{3} + 3 x^{2}}{y (- 2 - 3 y x)}$

Étape 5.3.3.6

Réécrivez $- 2$ comme $- 1 (2)$ .

$y' = \frac{y^{3} + 3 x^{2}}{y (- 1 (2) - 3 y x)}$

Étape 5.3.3.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 y x$ .

$y' = \frac{y^{3} + 3 x^{2}}{y (- 1 (2) - (3 y x))}$

Étape 5.3.3.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (2) - (3 y x)$ .

$y' = \frac{y^{3} + 3 x^{2}}{y (- 1 (2 + 3 y x))}$

Étape 5.3.3.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{y^{3} + 3 x^{2}}{y (2 + 3 y x)}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{3} + 3 x^{2}}{y (2 + 3 y x)}$