Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to - 1} \frac{{(x + 1)}^{2} (x - 1)}{x^{3} + 1}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to - 1} {(x + 1)}^{2} (x - 1)}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 1}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$\frac{lim_{x \to - 1} {(x + 1)}^{2} \cdot lim_{x \to - 1} x - 1}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 1}$

Étape 1.1.2.2

Déplacez l’exposant $2$ de ${(x + 1)}^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x + 1)}^{2} \cdot lim_{x \to - 1} x - 1}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 1}$

Étape 1.1.2.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 1)}^{2} \cdot lim_{x \to - 1} x - 1}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 1}$

Étape 1.1.2.4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x + 1)}^{2} \cdot lim_{x \to - 1} x - 1}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 1}$

Étape 1.1.2.5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x + 1)}^{2} \cdot (lim_{x \to - 1} x - lim_{x \to - 1} 1)}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 1}$

Étape 1.1.2.6

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x + 1)}^{2} \cdot (lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 1}$

Étape 1.1.2.7

Évaluez les limites en insérant $- 1$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.1.2.7.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 1$ pour $x$ .

$\frac{{(- 1 + 1)}^{2} \cdot (lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 1}$

Étape 1.1.2.7.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 1$ pour $x$ .

$\frac{{(- 1 + 1)}^{2} \cdot (- 1 - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 1}$

Étape 1.1.2.8

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.8.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$\frac{0^{2} \cdot (- 1 - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 1}$

Étape 1.1.2.8.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0 \cdot (- 1 - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 1}$

Étape 1.1.2.8.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{0 \cdot (- 1 - 1)}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 1}$

Étape 1.1.2.8.4

Soustrayez $1$ de $- 1$ .

$\frac{0 \cdot - 2}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 1}$

Étape 1.1.2.8.5

Multipliez $0$ par $- 2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 1}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x^{3} + lim_{x \to - 1} 1}$

Étape 1.1.3.1.2

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{3} + lim_{x \to - 1} 1}$

Étape 1.1.3.1.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{3} + 1}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 1$ pour $x$ .

$\frac{0}{{(- 1)}^{3} + 1}$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.3.1

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$\frac{0}{- 1 + 1}$

Étape 1.1.3.3.2

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to - 1} \frac{{(x + 1)}^{2} (x - 1)}{x^{3} + 1} = lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2} (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2} (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Étape 1.3.2

Réécrivez ${(x + 1)}^{2}$ comme $(x + 1) (x + 1)$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x + 1) (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Étape 1.3.3

Développez $(x + 1) (x + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [(x (x + 1) + 1 (x + 1)) (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Étape 1.3.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [(x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)) (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Étape 1.3.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [(x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Étape 1.3.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.4.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [(x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Étape 1.3.4.1.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [(x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1) (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Étape 1.3.4.1.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [(x^{2} + x + x + 1 \cdot 1) (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Étape 1.3.4.1.4

Multipliez $1$ par $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [(x^{2} + x + x + 1) (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Étape 1.3.4.2

Additionnez $x$ et $x$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [(x^{2} + 2 x + 1) (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Étape 1.3.5

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2} + 2 x + 1$ et $g (x) = x - 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{(x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Étape 1.3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{(x^{2} + 2 x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Étape 1.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{(x^{2} + 2 x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Étape 1.3.8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{(x^{2} + 2 x + 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Étape 1.3.9

Additionnez $1$ et $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{(x^{2} + 2 x + 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Étape 1.3.10

Multipliez $x^{2} + 2 x + 1$ par $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Étape 1.3.11

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 2 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1 + (x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Étape 1.3.12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1 + (x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Étape 1.3.13

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1 + (x - 1) (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Étape 1.3.14

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1 + (x - 1) (2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Étape 1.3.15

Multipliez $2$ par $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1 + (x - 1) (2 x + 2 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Étape 1.3.16

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1 + (x - 1) (2 x + 2 + 0)}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Étape 1.3.17

Additionnez $2 x + 2$ et $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1 + (x - 1) (2 x + 2)}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Étape 1.3.18

Simplifiez

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Étape 1.3.18.1

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1 + (x - 1) (2 x) + (x - 1) \cdot 2}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Étape 1.3.18.2

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1 + x (2 x) - 1 (2 x) + (x - 1) \cdot 2}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Étape 1.3.18.3

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1 + x (2 x) - 1 (2 x) + x \cdot 2 - 1 \cdot 2}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Étape 1.3.18.4

Associez des termes.

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Étape 1.3.18.4.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1 + 2 (x^{1} x) - 1 (2 x) + x \cdot 2 - 1 \cdot 2}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Étape 1.3.18.4.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1 + 2 (x^{1} x^{1}) - 1 (2 x) + x \cdot 2 - 1 \cdot 2}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Étape 1.3.18.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1 + 2 x^{1 + 1} - 1 (2 x) + x \cdot 2 - 1 \cdot 2}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Étape 1.3.18.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1 + 2 x^{2} - 1 (2 x) + x \cdot 2 - 1 \cdot 2}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Étape 1.3.18.4.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1 + 2 x^{2} - 2 x + x \cdot 2 - 1 \cdot 2}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Étape 1.3.18.4.6

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1 + 2 x^{2} - 2 x + 2 \cdot x - 1 \cdot 2}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Étape 1.3.18.4.7

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1 + 2 x^{2} - 2 x + 2 x - 2}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Étape 1.3.18.4.8

Additionnez $- 2 x$ et $2 x$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1 + 2 x^{2} + 0 - 2}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Étape 1.3.18.4.9

Additionnez $2 x^{2}$ et $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1 + 2 x^{2} - 2}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Étape 1.3.18.4.10

Additionnez $x^{2}$ et $2 x^{2}$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{3 x^{2} + 2 x + 1 - 2}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Étape 1.3.18.4.11

Soustrayez $2$ de $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{3 x^{2} + 2 x - 1}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Étape 1.3.19

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{3 x^{2} + 2 x - 1}{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]}$

Étape 1.3.20

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{3 x^{2} + 2 x - 1}{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]}$

Étape 1.3.21

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{3 x^{2} + 2 x - 1}{3 x^{2} + 0}$

Étape 1.3.22

Additionnez $3 x^{2}$ et $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{3 x^{2} + 2 x - 1}{3 x^{2}}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Placez le terme $\frac{1}{3}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 1} \frac{3 x^{2} + 2 x - 1}{x^{2}}$

Étape 2.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to - 1} 3 x^{2} + 2 x - 1}{lim_{x \to - 1} x^{2}}$

Étape 2.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to - 1} 3 x^{2} + lim_{x \to - 1} 2 x - lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} x^{2}}$

Étape 2.4

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 lim_{x \to - 1} x^{2} + lim_{x \to - 1} 2 x - lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} x^{2}}$

Étape 2.5

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + lim_{x \to - 1} 2 x - lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} x^{2}}$

Étape 2.6

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 2 lim_{x \to - 1} x - lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} x^{2}}$

Étape 2.7

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 2 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 1}{lim_{x \to - 1} x^{2}}$

Étape 2.8

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 2 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 1}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2}}$

Étape 3

Évaluez les limites en insérant $- 1$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 3.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 1$ pour $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 {(- 1)}^{2} + 2 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 1}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2}}$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 1$ pour $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1 - 1 \cdot 1}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2}}$

Étape 3.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 1$ pour $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1 - 1 \cdot 1}{{(- 1)}^{2}}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 1 + 2 \cdot - 1 - 1 \cdot 1}{{(- 1)}^{2}}$

Étape 4.1.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 + 2 \cdot - 1 - 1 \cdot 1}{{(- 1)}^{2}}$

Étape 4.1.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - 2 - 1 \cdot 1}{{(- 1)}^{2}}$

Étape 4.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - 2 - 1}{{(- 1)}^{2}}$

Étape 4.1.5

Soustrayez $2$ de $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - 1}{{(- 1)}^{2}}$

Étape 4.1.6

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

Étape 4.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{1}$

Étape 4.3

Divisez $0$ par $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 0$

Étape 4.4

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $0$ .

$0$