Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{4} - 3 x^{2} + 3 x + 1$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} - 3 x^{2} + 3 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 x^{3} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.2.3

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$4 x^{3} - 6 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} - 6 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 x^{3} - 6 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.3.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$4 x^{3} - 6 x + 3 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.4.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 x^{3} - 6 x + 3 + 0$

Étape 1.4.2

Additionnez $4 x^{3} - 6 x + 3$ et $0$ .

$4 x^{3} - 6 x + 3$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{3} - 6 x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (3)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (3)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (3)$

Étape 2.2.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (3)$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 x$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (3)$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (3)$

Étape 2.3.3

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 6 + \frac{d}{d x} (3)$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.4.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 6 + 0$

Étape 2.4.2

Additionnez $12 x^{2} - 6$ et $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 6$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$4 x^{3} - 6 x + 3 = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Différenciez.

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Étape 4.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} - 3 x^{2} + 3 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 x^{3} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$4 x^{3} - 6 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} - 6 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 x^{3} - 6 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$4 x^{3} - 6 x + 3 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.1.4.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 x^{3} - 6 x + 3 + 0$

Étape 4.1.4.2

Additionnez $4 x^{3} - 6 x + 3$ et $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 6 x + 3$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $4 x^{3} - 6 x + 3$ .

$4 x^{3} - 6 x + 3$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $4 x^{3} - 6 x + 3 = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$4 x^{3} - 6 x + 3 = 0$

Étape 5.2

Représentez chaque côté de l’équation. La solution est la valeur x du point d’intersection.

$x \approx - 1.42366105$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = - 1.42366105$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 1.42366105$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$12 {(- 1.42366105)}^{2} - 6$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

Élevez $- 1.42366105$ à la puissance $2$ .

$12 \cdot 2.02681078 - 6$

Étape 9.1.2

Multipliez $12$ par $2.02681078$ .

$24.32172945 - 6$

Étape 9.2

Soustrayez $6$ de $24.32172945$ .

$18.32172945$

Étape 10

$x = - 1.42366105$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - 1.42366105$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = - 1.42366105$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1.42366105$ dans l’expression.

$f (- 1.42366105) = {(- 1.42366105)}^{4} - 3 {(- 1.42366105)}^{2} + 3 (- 1.42366105) + 1$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

Élevez $- 1.42366105$ à la puissance $4$ .

$f (- 1.42366105) = 4.10796197 - 3 {(- 1.42366105)}^{2} + 3 (- 1.42366105) + 1$

Étape 11.2.1.2

Élevez $- 1.42366105$ à la puissance $2$ .

$f (- 1.42366105) = 4.10796197 - 3 \cdot 2.02681078 + 3 (- 1.42366105) + 1$

Étape 11.2.1.3

Multipliez $- 3$ par $2.02681078$ .

$f (- 1.42366105) = 4.10796197 - 6.08043236 + 3 (- 1.42366105) + 1$

Étape 11.2.1.4

Multipliez $3$ par $- 1.42366105$ .

$f (- 1.42366105) = 4.10796197 - 6.08043236 - 4.27098315 + 1$

Étape 11.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 11.2.2.1

Soustrayez $6.08043236$ de $4.10796197$ .

$f (- 1.42366105) = - 1.97247039 - 4.27098315 + 1$

Étape 11.2.2.2

Soustrayez $4.27098315$ de $- 1.97247039$ .

$f (- 1.42366105) = - 6.24345354 + 1$

Étape 11.2.2.3

Additionnez $- 6.24345354$ et $1$ .

$f (- 1.42366105) = - 5.24345354$

Étape 11.2.3

La réponse finale est $- 5.24345354$ .

$y = - 5.24345354$

Étape 12

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x^{4} - 3 x^{2} + 3 x + 1$ .

$(- 1.42366105, - 5.24345354)$ est un minimum local

Étape 13