Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1}{e^{x} - 1}$

Étape 1

Réécrivez $\frac{1}{e^{x} - 1}$ comme ${(e^{x} - 1)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(e^{x} - 1)}^{- 1}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = e^{x} - 1$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $e^{x} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $e^{x} - 1$ .

$- {(e^{x} - 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]$

Étape 3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{x} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- {(e^{x} - 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$- {(e^{x} - 1)}^{- 2} (e^{x} + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 5.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- {(e^{x} - 1)}^{- 2} (e^{x} + 0)$

Étape 5.2

Additionnez $e^{x}$ et $0$ .

$- {(e^{x} - 1)}^{- 2} e^{x}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(e^{x} - 1)}^{2}} e^{x}$

Étape 6.2

Associez $e^{x}$ et $\frac{1}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$ .

$- \frac{e^{x}}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$