Calcul infinitésimal Exemples

$y = arcsec (3 x) + arccsc (3 x)$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $arcsec (3 x) + arccsc (3 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [arcsec (3 x)] + \frac{d}{d x} [arccsc (3 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [arcsec (3 x)] + \frac{d}{d x} [arccsc (3 x)]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [arcsec (3 x)]$ .

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = arcsec (x)$ et $g (x) = 3 x$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $3 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [arcsec (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [arccsc (3 x)]$

Étape 2.1.2

La dérivée de $arcsec (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1} \sqrt{{u_{1}}^{2} - 1}}$ .

$\frac{1}{u_{1} \sqrt{{u_{1}}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [arccsc (3 x)]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $3 x$ .

$\frac{1}{3 x \sqrt{{(3 x)}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [arccsc (3 x)]$

Étape 2.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3 x \sqrt{{(3 x)}^{2} - 1}} (3 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [arccsc (3 x)]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{3 x \sqrt{{(3 x)}^{2} - 1}} (3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [arccsc (3 x)]$

Étape 2.4

Factorisez $3$ à partir de $3 x$ .

$\frac{1}{3 x \sqrt{{(3 (x))}^{2} - 1}} (3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [arccsc (3 x)]$

Étape 2.5

Appliquez la règle de produit à $3 (x)$ .

$\frac{1}{3 x \sqrt{3^{2} x^{2} - 1}} (3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [arccsc (3 x)]$

Étape 2.6

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{3 x \sqrt{9 x^{2} - 1}} (3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [arccsc (3 x)]$

Étape 2.7

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{1}{3 x \sqrt{9 x^{2} - 1}} \cdot 3 + \frac{d}{d x} [arccsc (3 x)]$

Étape 2.8

Associez $\frac{1}{3 x \sqrt{9 x^{2} - 1}}$ et $3$ .

$\frac{3}{3 x \sqrt{9 x^{2} - 1}} + \frac{d}{d x} [arccsc (3 x)]$

Étape 2.9

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.9.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{3 x \sqrt{9 x^{2} - 1}} + \frac{d}{d x} [arccsc (3 x)]$

Étape 2.9.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{x \sqrt{9 x^{2} - 1}} + \frac{d}{d x} [arccsc (3 x)]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [arccsc (3 x)]$ .

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = arccsc (x)$ et $g (x) = 3 x$ .

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Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $3 x$ .

$\frac{1}{x \sqrt{9 x^{2} - 1}} + \frac{d}{d u_{2}} [arccsc (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 3.1.2

La dérivée de $arccsc (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $- \frac{1}{u_{2} \sqrt{{u_{2}}^{2} - 1}}$ .

$\frac{1}{x \sqrt{9 x^{2} - 1}} - \frac{1}{u_{2} \sqrt{{u_{2}}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $3 x$ .

$\frac{1}{x \sqrt{9 x^{2} - 1}} - \frac{1}{3 x \sqrt{{(3 x)}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 3.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{x \sqrt{9 x^{2} - 1}} - \frac{1}{3 x \sqrt{{(3 x)}^{2} - 1}} (3 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{x \sqrt{9 x^{2} - 1}} - \frac{1}{3 x \sqrt{{(3 x)}^{2} - 1}} (3 \cdot 1)$

Étape 3.4

Factorisez $3$ à partir de $3 x$ .

$\frac{1}{x \sqrt{9 x^{2} - 1}} - \frac{1}{3 x \sqrt{{(3 (x))}^{2} - 1}} (3 \cdot 1)$

Étape 3.5

Appliquez la règle de produit à $3 (x)$ .

$\frac{1}{x \sqrt{9 x^{2} - 1}} - \frac{1}{3 x \sqrt{3^{2} x^{2} - 1}} (3 \cdot 1)$

Étape 3.6

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{x \sqrt{9 x^{2} - 1}} - \frac{1}{3 x \sqrt{9 x^{2} - 1}} (3 \cdot 1)$

Étape 3.7

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{1}{x \sqrt{9 x^{2} - 1}} - \frac{1}{3 x \sqrt{9 x^{2} - 1}} \cdot 3$

Étape 3.8

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{1}{x \sqrt{9 x^{2} - 1}} - 3 \frac{1}{3 x \sqrt{9 x^{2} - 1}}$

Étape 3.9

Associez $- 3$ et $\frac{1}{3 x \sqrt{9 x^{2} - 1}}$ .

$\frac{1}{x \sqrt{9 x^{2} - 1}} + \frac{- 3}{3 x \sqrt{9 x^{2} - 1}}$

Étape 3.10

Annulez le facteur commun à $- 3$ et $3$ .

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Étape 3.10.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$\frac{1}{x \sqrt{9 x^{2} - 1}} + \frac{3 \cdot - 1}{3 x \sqrt{9 x^{2} - 1}}$

Étape 3.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.10.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x \sqrt{9 x^{2} - 1}$ .

$\frac{1}{x \sqrt{9 x^{2} - 1}} + \frac{3 \cdot - 1}{3 (x \sqrt{9 x^{2} - 1})}$

Étape 3.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{x \sqrt{9 x^{2} - 1}} + \frac{3 \cdot - 1}{3 (x \sqrt{9 x^{2} - 1})}$

Étape 3.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{x \sqrt{9 x^{2} - 1}} + \frac{- 1}{x \sqrt{9 x^{2} - 1}}$

Étape 3.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{x \sqrt{9 x^{2} - 1}} - \frac{1}{x \sqrt{9 x^{2} - 1}}$

Étape 4

Soustrayez $\frac{1}{x \sqrt{9 x^{2} - 1}}$ de $\frac{1}{x \sqrt{9 x^{2} - 1}}$ .

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