Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to - 2} \frac{3 e^{- 2 - x} - 3}{2 x^{2} - 8}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to - 2} 3 e^{- 2 - x} - 3}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

Étape 1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 2$ .

$\frac{lim_{x \to - 2} 3 e^{- 2 - x} - lim_{x \to - 2} 3}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

Étape 1.2.2

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to - 2} e^{- 2 - x} - lim_{x \to - 2} 3}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

Étape 1.2.3

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{3 e^{lim_{x \to - 2} - 2 - x} - lim_{x \to - 2} 3}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

Étape 1.2.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 2$ .

$\frac{3 e^{- lim_{x \to - 2} 2 - lim_{x \to - 2} x} - lim_{x \to - 2} 3}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

Étape 1.2.5

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 2$ .

$\frac{3 e^{- 1 \cdot 2 - lim_{x \to - 2} x} - lim_{x \to - 2} 3}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

Étape 1.2.6

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 2$ .

$\frac{3 e^{- 1 \cdot 2 - lim_{x \to - 2} x} - 1 \cdot 3}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

Étape 1.2.7

Simplifiez les termes.

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Étape 1.2.7.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 2$ pour $x$ .

$\frac{3 e^{- 1 \cdot 2 + 2} - 1 \cdot 3}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

Étape 1.2.7.2

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.2.7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.7.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{3 e^{- 2 + 2} - 1 \cdot 3}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

Étape 1.2.7.2.1.2

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$\frac{3 e^{0} - 1 \cdot 3}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

Étape 1.2.7.2.1.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{3 \cdot 1 - 1 \cdot 3}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

Étape 1.2.7.2.1.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{3 - 1 \cdot 3}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

Étape 1.2.7.2.1.5

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{3 - 3}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

Étape 1.2.7.2.2

Soustrayez $3$ de $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

Étape 1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - lim_{x \to - 2} 8}$

Étape 1.3.1.2

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{2 lim_{x \to - 2} x^{2} - lim_{x \to - 2} 8}$

Étape 1.3.1.3

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{2 {(lim_{x \to - 2} x)}^{2} - lim_{x \to - 2} 8}$

Étape 1.3.1.4

Évaluez la limite de $8$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 2$ .

$\frac{0}{2 {(lim_{x \to - 2} x)}^{2} - 1 \cdot 8}$

Étape 1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 2$ pour $x$ .

$\frac{0}{2 {(- 2)}^{2} - 1 \cdot 8}$

Étape 1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.3.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$\frac{0}{2 \cdot 4 - 1 \cdot 8}$

Étape 1.3.3.1.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{0}{8 - 1 \cdot 8}$

Étape 1.3.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$\frac{0}{8 - 8}$

Étape 1.3.3.2

Soustrayez $8$ de $8$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to - 2} \frac{3 e^{- 2 - x} - 3}{2 x^{2} - 8} = lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{- 2 - x} - 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{- 2 - x} - 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 e^{- 2 - x} - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 e^{- 2 - x}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{- 2 - x}] + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 e^{- 2 - x}]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 e^{- 2 - x}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [e^{- 2 - x}]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{3 \frac{d}{d x} [e^{- 2 - x}] + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - 2 - x$ .

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Étape 3.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- 2 - x$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{3 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 - x]) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

Étape 3.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{3 (e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 - x]) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

Étape 3.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 2 - x$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{3 (e^{- 2 - x} \frac{d}{d x} [- 2 - x]) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

Étape 3.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 2 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{3 (e^{- 2 - x} (\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [- x])) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

Étape 3.3.4

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{3 (e^{- 2 - x} (0 + \frac{d}{d x} [- x])) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

Étape 3.3.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{3 (e^{- 2 - x} (0 - \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

Étape 3.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{3 (e^{- 2 - x} (0 - 1 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

Étape 3.3.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{3 (e^{- 2 - x} (0 - 1)) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

Étape 3.3.8

Soustrayez $1$ de $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{3 (e^{- 2 - x} \cdot - 1) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

Étape 3.3.9

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- 2 - x}$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{3 (- 1 e^{- 2 - x}) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

Étape 3.3.10

Réécrivez $- 1 e^{- 2 - x}$ comme $- e^{- 2 - x}$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{3 (- e^{- 2 - x}) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

Étape 3.3.11

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 3 e^{- 2 - x} + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

Étape 3.4

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 3 e^{- 2 - x} + 0}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

Étape 3.5

Additionnez $- 3 e^{- 2 - x}$ et $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 3 e^{- 2 - x}}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

Étape 3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{2} - 8$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 3 e^{- 2 - x}}{\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]}$

Étape 3.7

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Étape 3.7.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 3 e^{- 2 - x}}{2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]}$

Étape 3.7.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 3 e^{- 2 - x}}{2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8]}$

Étape 3.7.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 3 e^{- 2 - x}}{4 x + \frac{d}{d x} [- 8]}$

Étape 3.8

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 3 e^{- 2 - x}}{4 x + 0}$

Étape 3.9

Additionnez $4 x$ et $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 3 e^{- 2 - x}}{4 x}$

Étape 4

Placez le terme $\frac{- 3}{4}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{- 3}{4} lim_{x \to - 2} \frac{e^{- 2 - x}}{x}$

Étape 5

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 2$ .

$\frac{- 3}{4} \cdot \frac{lim_{x \to - 2} e^{- 2 - x}}{lim_{x \to - 2} x}$

Étape 6

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{- 3}{4} \cdot \frac{e^{lim_{x \to - 2} - 2 - x}}{lim_{x \to - 2} x}$

Étape 7

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 2$ .

$\frac{- 3}{4} \cdot \frac{e^{- lim_{x \to - 2} 2 - lim_{x \to - 2} x}}{lim_{x \to - 2} x}$

Étape 8

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 2$ .

$\frac{- 3}{4} \cdot \frac{e^{- 1 \cdot 2 - lim_{x \to - 2} x}}{lim_{x \to - 2} x}$

Étape 9

Évaluez les limites en insérant $- 2$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 9.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 2$ pour $x$ .

$\frac{- 3}{4} \cdot \frac{e^{- 1 \cdot 2 + 2}}{lim_{x \to - 2} x}$

Étape 9.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 2$ pour $x$ .

$\frac{- 3}{4} \cdot \frac{e^{- 1 \cdot 2 + 2}}{- 2}$

Étape 10

Simplifiez la réponse.

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Étape 10.1

Associez.

$\frac{- 3 e^{- 1 \cdot 2 + 2}}{4 \cdot - 2}$

Étape 10.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.2.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{- 3 e^{- 2 + 2}}{4 \cdot - 2}$

Étape 10.2.2

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$\frac{- 3 e^{0}}{4 \cdot - 2}$

Étape 10.2.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{- 3 \cdot 1}{4 \cdot - 2}$

Étape 10.3

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$\frac{- 3 \cdot 1}{- 8}$

Étape 10.4

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$\frac{- 3}{- 8}$

Étape 10.5

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{3}{8}$