Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x) + \sin (x)}{1 - \cos (x) - \sin (x)}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) + \sin (x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \sin (x)}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \sin (x)}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1 - lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \sin (x)}$

Étape 1.1.2.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{1 - \cos (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \sin (x)}$

Étape 1.1.2.4

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{1 - \cos (lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \sin (x)}$

Étape 1.1.2.5

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.1.2.5.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1 - \cos (0) + \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \sin (x)}$

Étape 1.1.2.5.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1 - \cos (0) + \sin (0)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \sin (x)}$

Étape 1.1.2.6

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.6.1.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1 + \sin (0)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \sin (x)}$

Étape 1.1.2.6.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 - 1 + \sin (0)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \sin (x)}$

Étape 1.1.2.6.1.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{1 - 1 + 0}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \sin (x)}$

Étape 1.1.2.6.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \sin (x)}$

Étape 1.1.2.6.3

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \sin (x)}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (x) - lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{0}{1 - lim_{x \to 0} \cos (x) - lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Étape 1.1.3.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{0}{1 - \cos (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Étape 1.1.3.4

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{0}{1 - \cos (lim_{x \to 0} x) - \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 1.1.3.5

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.1.3.5.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{1 - \cos (0) - \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 1.1.3.5.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{1 - \cos (0) - \sin (0)}$

Étape 1.1.3.6

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.6.1.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1 - \sin (0)}$

Étape 1.1.3.6.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 - \sin (0)}$

Étape 1.1.3.6.1.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{0}{1 - 1 - 0}$

Étape 1.1.3.6.1.4

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{0}{1 - 1 + 0}$

Étape 1.1.3.6.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Étape 1.1.3.6.3

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.6.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.7

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x) + \sin (x)}{1 - \cos (x) - \sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) + \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \sin (x)]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) + \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \sin (x)]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - \cos (x) + \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \sin (x)]}$

Étape 1.3.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \sin (x)]}$

Étape 1.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Étape 1.3.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \sin (x)]}$

Étape 1.3.4.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - - \sin (x) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \sin (x)]}$

Étape 1.3.4.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 1 \sin (x) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \sin (x)]}$

Étape 1.3.4.4

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \sin (x)]}$

Étape 1.3.5

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \sin (x)]}$

Étape 1.3.6

Additionnez $0$ et $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \sin (x)]}$

Étape 1.3.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - \cos (x) - \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Étape 1.3.8

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \cos (x)}{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Étape 1.3.9

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Étape 1.3.9.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \cos (x)}{0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Étape 1.3.9.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \cos (x)}{0 - - \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Étape 1.3.9.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \cos (x)}{0 + 1 \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Étape 1.3.9.4

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \cos (x)}{0 + \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Étape 1.3.10

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

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Étape 1.3.10.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \sin (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \cos (x)}{0 + \sin (x) - \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Étape 1.3.10.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \cos (x)}{0 + \sin (x) - \cos (x)}$

Étape 1.3.11

Additionnez $0$ et $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \cos (x)}{\sin (x) - \cos (x)}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x) + \cos (x)}{lim_{x \to 0} \sin (x) - \cos (x)}$

Étape 2.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \sin (x) - \cos (x)}$

Étape 2.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \sin (x) - \cos (x)}$

Étape 2.4

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (x) - \cos (x)}$

Étape 2.5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (x) - lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Étape 2.6

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x)}{\sin (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Étape 2.7

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x)}{\sin (lim_{x \to 0} x) - \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 3

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 3.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\sin (0) + \cos (lim_{x \to 0} x)}{\sin (lim_{x \to 0} x) - \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\sin (0) + \cos (0)}{\sin (lim_{x \to 0} x) - \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 3.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\sin (0) + \cos (0)}{\sin (0) - \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 3.4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\sin (0) + \cos (0)}{\sin (0) - \cos (0)}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{0 + \cos (0)}{\sin (0) - \cos (0)}$

Étape 4.1.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{0 + 1}{\sin (0) - \cos (0)}$

Étape 4.1.3

Additionnez $0$ et $1$ .

$\frac{1}{\sin (0) - \cos (0)}$

Étape 4.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{1}{0 - \cos (0)}$

Étape 4.2.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{1}{0 - 1 \cdot 1}$

Étape 4.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{0 - 1}$

Étape 4.2.4

Soustrayez $1$ de $0$ .

$\frac{1}{- 1}$

Étape 4.3

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{1}{- 1}$ .

$- 1 \cdot 1$

Étape 4.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$