Calcul infinitésimal Exemples

$\int 5 u^{2} {(3 + 2 u^{3})}^{\frac{2}{3}} d u$

Étape 1

Comme $5$ est constant par rapport à $u$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$5 \int u^{2} {(3 + 2 u^{3})}^{\frac{2}{3}} d u$

Étape 2

Laissez $u_{1} = 3 + 2 u^{3}$ . Alors $d u_{1} = 6 u^{2} d u$ , donc $\frac{1}{6} d u_{1} = u^{2} d u$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 2.1

Laissez $u_{1} = 3 + 2 u^{3}$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d u}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $3 + 2 u^{3}$ .

$\frac{d}{d u} [3 + 2 u^{3}]$

Étape 2.1.2

Différenciez.

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Étape 2.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 + 2 u^{3}$ par rapport à $u$ est $\frac{d}{d u} [3] + \frac{d}{d u} [2 u^{3}]$ .

$\frac{d}{d u} [3] + \frac{d}{d u} [2 u^{3}]$

Étape 2.1.2.2

Comme $3$ est constant par rapport à $u$ , la dérivée de $3$ par rapport à $u$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d u} [2 u^{3}]$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d u} [2 u^{3}]$ .

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Étape 2.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $u$ , la dérivée de $2 u^{3}$ par rapport à $u$ est $2 \frac{d}{d u} [u^{3}]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d u} [u^{3}]$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$0 + 2 (3 u^{2})$

Étape 2.1.3.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$0 + 6 u^{2}$

Étape 2.1.4

Additionnez $0$ et $6 u^{2}$ .

$6 u^{2}$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$5 \int {u_{1}}^{\frac{2}{3}} \frac{1}{6} d u_{1}$

Étape 3

Associez ${u_{1}}^{\frac{2}{3}}$ et $\frac{1}{6}$ .

$5 \int \frac{{u_{1}}^{\frac{2}{3}}}{6} d u_{1}$

Étape 4

Comme $\frac{1}{6}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{6}$ en dehors de l’intégrale.

$5 (\frac{1}{6} \int {u_{1}}^{\frac{2}{3}} d u_{1})$

Étape 5

Associez $\frac{1}{6}$ et $5$ .

$\frac{5}{6} \int {u_{1}}^{\frac{2}{3}} d u_{1}$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{1}}^{\frac{2}{3}}$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{3}{5} {u_{1}}^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{5}{6} (\frac{3}{5} {u_{1}}^{\frac{5}{3}} + C)$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Réécrivez $\frac{5}{6} (\frac{3}{5} {u_{1}}^{\frac{5}{3}} + C)$ comme $\frac{5}{6} \cdot \frac{3}{5} {u_{1}}^{\frac{5}{3}} + C$ .

$\frac{5}{6} \cdot \frac{3}{5} {u_{1}}^{\frac{5}{3}} + C$

Étape 7.2

Simplifiez

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Étape 7.2.1

Multipliez $\frac{5}{6}$ par $\frac{3}{5}$ .

$\frac{5 \cdot 3}{6 \cdot 5} {u_{1}}^{\frac{5}{3}} + C$

Étape 7.2.2

Multipliez $5$ par $3$ .

$\frac{15}{6 \cdot 5} {u_{1}}^{\frac{5}{3}} + C$

Étape 7.2.3

Multipliez $6$ par $5$ .

$\frac{15}{30} {u_{1}}^{\frac{5}{3}} + C$

Étape 7.2.4

Annulez le facteur commun à $15$ et $30$ .

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Étape 7.2.4.1

Factorisez $15$ à partir de $15$ .

$\frac{15 (1)}{30} {u_{1}}^{\frac{5}{3}} + C$

Étape 7.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.4.2.1

Factorisez $15$ à partir de $30$ .

$\frac{15 \cdot 1}{15 \cdot 2} {u_{1}}^{\frac{5}{3}} + C$

Étape 7.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{15 \cdot 1}{15 \cdot 2} {u_{1}}^{\frac{5}{3}} + C$

Étape 7.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{5}{3}} + C$

Étape 8

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $3 + 2 u^{3}$ .

$\frac{1}{2} {(3 + 2 u^{3})}^{\frac{5}{3}} + C$