Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{2}^{\infty} 2 e^{- 2 x - 4} d x$

Étape 1

Écrivez l’intégrale comme une limite lorsque $t$ approche de $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{2}^{t} 2 e^{- 2 x - 4} d x$

Étape 2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$lim_{t \to \infty} 2 \int_{2}^{t} e^{- 2 x - 4} d x$

Étape 3

Laissez $u = - 2 x - 4$ . Alors $d u = - 2 d x$ , donc $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 3.1

Laissez $u = - 2 x - 4$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 3.1.1

Différenciez $- 2 x - 4$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x - 4]$

Étape 3.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 2 x - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 3.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Étape 3.1.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 3.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 3.1.3.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 2 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 3.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 3.1.4.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 2 + 0$

Étape 3.1.4.2

Additionnez $- 2$ et $0$ .

$- 2$

Étape 3.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = - 2 x - 4$ .

$u_{lower} = - 2 \cdot 2 - 4$

Étape 3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.1

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$u_{lower} = - 4 - 4$

Étape 3.3.2

Soustrayez $4$ de $- 4$ .

$u_{lower} = - 8$

Étape 3.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = - 2 x - 4$ .

$u_{upper} = - 2 t - 4$

Étape 3.5

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = - 8$

$u_{upper} = - 2 t - 4$

Étape 3.6

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$lim_{t \to \infty} 2 \int_{- 8}^{- 2 t - 4} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{t \to \infty} 2 \int_{- 8}^{- 2 t - 4} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Étape 4.2

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} 2 \int_{- 8}^{- 2 t - 4} - \frac{e^{u}}{2} d u$

Étape 5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$lim_{t \to \infty} 2 (- \int_{- 8}^{- 2 t - 4} \frac{e^{u}}{2} d u)$

Étape 6

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$lim_{t \to \infty} - 2 \int_{- 8}^{- 2 t - 4} \frac{e^{u}}{2} d u$

Étape 7

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$lim_{t \to \infty} - 2 (\frac{1}{2} \int_{- 8}^{- 2 t - 4} e^{u} d u)$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 2$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- 2}{2} \int_{- 8}^{- 2 t - 4} e^{u} d u$

Étape 8.2

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 8.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \cdot - 1}{2} \int_{- 8}^{- 2 t - 4} e^{u} d u$

Étape 8.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int_{- 8}^{- 2 t - 4} e^{u} d u$

Étape 8.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int_{- 8}^{- 2 t - 4} e^{u} d u$

Étape 8.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{t \to \infty} \frac{- 1}{1} \int_{- 8}^{- 2 t - 4} e^{u} d u$

Étape 8.2.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$lim_{t \to \infty} - \int_{- 8}^{- 2 t - 4} e^{u} d u$

Étape 9

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$lim_{t \to \infty} - (e^{u}]_{- 8}^{- 2 t - 4})$

Étape 10

Évaluez $e^{u}$ sur $- 2 t - 4$ et sur $- 8$ .

$lim_{t \to \infty} - (e^{- 2 t - 4} - e^{- 8})$

Étape 11

Évaluez la limite.

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Étape 11.1

Évaluez la limite.

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Étape 11.1.1

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il est constant par rapport à $t$ .

$- lim_{t \to \infty} e^{- 2 t - 4} - e^{- 8}$

Étape 11.1.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $\infty$ .

$- (lim_{t \to \infty} e^{- 2 t - 4} - lim_{t \to \infty} e^{- 8})$

Étape 11.2

Comme l’exposant $- 2 t - 4$ approche de $- \infty$ , la quantité $e^{- 2 t - 4}$ approche de $0$ .

$- (0 - lim_{t \to \infty} e^{- 8})$

Étape 11.3

Évaluez la limite.

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Étape 11.3.1

Évaluez la limite de $e^{- 8}$ qui est constante lorsque $t$ approche de $\infty$ .

$- (0 - e^{- 8})$

Étape 11.3.2

Simplifiez la réponse.

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Étape 11.3.2.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- (0 - \frac{1}{e^{8}})$

Étape 11.3.2.2

Soustrayez $\frac{1}{e^{8}}$ de $0$ .

$- - \frac{1}{e^{8}}$

Étape 11.3.2.3

Multipliez $- - \frac{1}{e^{8}}$ .

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Étape 11.3.2.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \frac{1}{e^{8}}$

Étape 11.3.2.3.2

Multipliez $\frac{1}{e^{8}}$ par $1$ .

$\frac{1}{e^{8}}$

Étape 12

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{e^{8}}$

Forme décimale :

$0.00033546 \dots$