Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin (x)}{1 + \cos^{2} (x)} d x$

Étape 1

Laissez $u = \cos (x)$ . Alors $d u = - \sin (x) d x$ , donc $- d u = \sin (x) d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = \cos (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 1.1.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = \cos (x)$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

Étape 1.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = \cos (x)$ .

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{2})$

Étape 1.5

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$u_{upper} = 0$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{1}^{0} \frac{- 1}{1 + u^{2}} d u$

Étape 2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int_{1}^{0} - \frac{1}{1 + u^{2}} d u$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int_{1}^{0} \frac{1}{1 + u^{2}} d u$

Étape 4

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$- \int_{1}^{0} \frac{1}{1^{2} + u^{2}} d u$

Étape 5

L’intégrale de $\frac{1}{1^{2} + u^{2}}$ par rapport à $u$ est $\arctan (u)]_{1}^{0}$ .

$- (\arctan (u)]_{1}^{0})$

Étape 6

Évaluez $\arctan (u)$ sur $0$ et sur $1$ .

$- (\arctan (0) - \arctan (1))$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1.1

La valeur exacte de $\arctan (0)$ est $0$ .

$- (0 - \arctan (1))$

Étape 7.1.2

La valeur exacte de $\arctan (1)$ est $\frac{π}{4}$ .

$- (0 - \frac{π}{4})$

Étape 7.2

Soustrayez $\frac{π}{4}$ de $0$ .

$- - \frac{π}{4}$

Étape 7.3

Multipliez $- - \frac{π}{4}$ .

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Étape 7.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \frac{π}{4}$

Étape 7.3.2

Multipliez $\frac{π}{4}$ par $1$ .

$\frac{π}{4}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{π}{4}$

Forme décimale :

$0.78539816 \dots$