Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{4} - 8 x^{2} + 2$ on $[- 3, 1]$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} - 8 x^{2} + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 x^{3} - 8 (2 x) + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.1.1.2.3

Multipliez $2$ par $- 8$ .

$4 x^{3} - 16 x + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 x^{3} - 16 x + 0$

Étape 1.1.1.3.2

Additionnez $4 x^{3} - 16 x$ et $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 16 x$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $4 x^{3} - 16 x$ .

$4 x^{3} - 16 x$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $4 x^{3} - 16 x = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$4 x^{3} - 16 x = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.2.1

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x^{3} - 16 x$ .

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Étape 1.2.2.1.1

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 16 x = 0$

Étape 1.2.2.1.2

Factorisez $4 x$ à partir de $- 16 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 4) = 0$

Étape 1.2.2.1.3

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x (x^{2}) + 4 x (- 4)$ .

$4 x (x^{2} - 4) = 0$

Étape 1.2.2.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$4 x (x^{2} - 2^{2}) = 0$

Étape 1.2.2.3

Factorisez.

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Étape 1.2.2.3.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$4 x ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Étape 1.2.2.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$4 x (x + 2) (x - 2) = 0$

Étape 1.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Étape 1.2.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 1.2.5

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.5.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 1.2.5.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 1.2.6

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.6.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 1.2.6.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 1.2.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $4 x (x + 2) (x - 2) = 0$ vraie.

$x = 0, - 2, 2$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 1.4

Évaluez $x^{4} - 8 x^{2} + 2$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

${(0)}^{4} - 8 {(0)}^{2} + 2$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

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Étape 1.4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 - 8 {(0)}^{2} + 2$

Étape 1.4.1.2.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 - 8 \cdot 0 + 2$

Étape 1.4.1.2.1.3

Multipliez $- 8$ par $0$ .

$0 + 0 + 2$

Étape 1.4.1.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 1.4.1.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + 2$

Étape 1.4.1.2.2.2

Additionnez $0$ et $2$ .

$2$

Étape 1.4.2

Évaluez sur $x = - 2$ .

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Étape 1.4.2.1

Remplacez $x$ par $- 2$ .

${(- 2)}^{4} - 8 {(- 2)}^{2} + 2$

Étape 1.4.2.2

Simplifiez

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Étape 1.4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.2.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $4$ .

$16 - 8 {(- 2)}^{2} + 2$

Étape 1.4.2.2.1.2

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$16 - 8 \cdot 4 + 2$

Étape 1.4.2.2.1.3

Multipliez $- 8$ par $4$ .

$16 - 32 + 2$

Étape 1.4.2.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 1.4.2.2.2.1

Soustrayez $32$ de $16$ .

$- 16 + 2$

Étape 1.4.2.2.2.2

Additionnez $- 16$ et $2$ .

$- 14$

Étape 1.4.3

Évaluez sur $x = 2$ .

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Étape 1.4.3.1

Remplacez $x$ par $2$ .

${(2)}^{4} - 8 {(2)}^{2} + 2$

Étape 1.4.3.2

Simplifiez

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Étape 1.4.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.3.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$16 - 8 {(2)}^{2} + 2$

Étape 1.4.3.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$16 - 8 \cdot 4 + 2$

Étape 1.4.3.2.1.3

Multipliez $- 8$ par $4$ .

$16 - 32 + 2$

Étape 1.4.3.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 1.4.3.2.2.1

Soustrayez $32$ de $16$ .

$- 16 + 2$

Étape 1.4.3.2.2.2

Additionnez $- 16$ et $2$ .

$- 14$

Étape 1.4.4

Indiquez tous les points.

$(0, 2), (- 2, - 14), (2, - 14)$

Étape 2

Excluez les points qui ne sont pas sur l’intervalle.

$(0, 2), (- 2, - 14)$

Étape 3

Utilisez le test de la dérivée afin de déterminer quels points peuvent être des maxima ou des minima.

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Étape 3.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Étape 3.2

Remplacez tout nombre, tel que $- 4$ , de l’intervalle $(- \infty, - 2)$ dans la dérivée première $4 x^{3} - 16 x$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 3.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 4$ dans l’expression.

$f' (- 4) = 4 {(- 4)}^{3} - 16 \cdot - 4$

Étape 3.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.2.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $3$ .

$f' (- 4) = 4 \cdot - 64 - 16 \cdot - 4$

Étape 3.2.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 64$ .

$f' (- 4) = - 256 - 16 \cdot - 4$

Étape 3.2.2.1.3

Multipliez $- 16$ par $- 4$ .

$f' (- 4) = - 256 + 64$

Étape 3.2.2.2

Additionnez $- 256$ et $64$ .

$f' (- 4) = - 192$

Étape 3.2.2.3

La réponse finale est $- 192$ .

$- 192$

Étape 3.3

Remplacez tout nombre, tel que $- 1$ , de l’intervalle $(- 2, 0)$ dans la dérivée première $4 x^{3} - 16 x$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 3.3.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f' (- 1) = 4 {(- 1)}^{3} - 16 \cdot - 1$

Étape 3.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.2.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f' (- 1) = 4 \cdot - 1 - 16 \cdot - 1$

Étape 3.3.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$f' (- 1) = - 4 - 16 \cdot - 1$

Étape 3.3.2.1.3

Multipliez $- 16$ par $- 1$ .

$f' (- 1) = - 4 + 16$

Étape 3.3.2.2

Additionnez $- 4$ et $16$ .

$f' (- 1) = 12$

Étape 3.3.2.3

La réponse finale est $12$ .

$12$

Étape 3.4

Remplacez tout nombre, tel que $1$ , de l’intervalle $(0, 2)$ dans la dérivée première $4 x^{3} - 16 x$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 3.4.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f' (1) = 4 {(1)}^{3} - 16 \cdot 1$

Étape 3.4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (1) = 4 \cdot 1 - 16 \cdot 1$

Étape 3.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$f' (1) = 4 - 16 \cdot 1$

Étape 3.4.2.1.3

Multipliez $- 16$ par $1$ .

$f' (1) = 4 - 16$

Étape 3.4.2.2

Soustrayez $16$ de $4$ .

$f' (1) = - 12$

Étape 3.4.2.3

La réponse finale est $- 12$ .

$- 12$

Étape 3.5

Remplacez tout nombre, tel que $4$ , de l’intervalle $(2, \infty)$ dans la dérivée première $4 x^{3} - 16 x$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 3.5.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f' (4) = 4 {(4)}^{3} - 16 \cdot 4$

Étape 3.5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.2.1.1

Multipliez $4$ par ${(4)}^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.5.2.1.1.1

Multipliez $4$ par ${(4)}^{3}$ .

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Étape 3.5.2.1.1.1.1

Élevez $4$ à la puissance $1$ .

$f' (4) = 4 {(4)}^{3} - 16 \cdot 4$

Étape 3.5.2.1.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (4) = 4^{1 + 3} - 16 \cdot 4$

Étape 3.5.2.1.1.2

Additionnez $1$ et $3$ .

$f' (4) = 4^{4} - 16 \cdot 4$

Étape 3.5.2.1.2

Élevez $4$ à la puissance $4$ .

$f' (4) = 256 - 16 \cdot 4$

Étape 3.5.2.1.3

Multipliez $- 16$ par $4$ .

$f' (4) = 256 - 64$

Étape 3.5.2.2

Soustrayez $64$ de $256$ .

$f' (4) = 192$

Étape 3.5.2.3

La réponse finale est $192$ .

$192$

Étape 3.6

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $x = - 2$ , $x = - 2$ est un minimum local.

$x = - 2$ est un minimum local

Étape 3.7

Comme la dérivée première a changé de signe de positive à négative autour de $x = 0$ , $x = 0$ est un maximum local.

$x = 0$ est un maximum local

Étape 3.8

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $x = 2$ , $x = 2$ est un minimum local.

$x = 2$ est un minimum local

Étape 3.9

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x^{4} - 8 x^{2} + 2$ .

$x = - 2$ est un minimum local

$x = 0$ est un maximum local

$x = 2$ est un minimum local

$x = - 2$ est un minimum local

$x = 0$ est un maximum local

$x = 2$ est un minimum local

Étape 4

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(0, 2)$

Minimum absolu : $(- 2, - 14)$

Étape 5