Calcul infinitésimal Exemples

$\sqrt{e^{4 x - 2}}$

Étape 1

Écrivez $\sqrt{e^{4 x - 2}}$ comme une fonction.

$f (x) = \sqrt{e^{4 x - 2}}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \sqrt{e^{4 x - 2}} d x$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Réécrivez $e^{4 x - 2}$ comme ${(e^{2 x - 1})}^{2}$ .

$\int \sqrt{{(e^{2 x - 1})}^{2}} d x$

Étape 4.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\int e^{2 x - 1} d x$

Étape 5

Laissez $u = 2 x - 1$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.1

Laissez $u = 2 x - 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Étape 5.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 5.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 5.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 5.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 5.1.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 5.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 5.1.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 + 0$

Étape 5.1.4.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$2$

Étape 5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Étape 6

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{e^{u}}{2} d u$

Étape 7

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int e^{u} d u$

Étape 8

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u} + C)$

Étape 9

Simplifiez

$\frac{1}{2} e^{u} + C$

Étape 10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x - 1$ .

$\frac{1}{2} e^{2 x - 1} + C$

Étape 11

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \sqrt{e^{4 x - 2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} e^{2 x - 1} + C$