Calcul infinitésimal Exemples

$x^{\frac{2}{3}} - 3$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{\frac{2}{3}} - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

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Étape 1.2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.2.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.2.3

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.5.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.2.5.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.3

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + 0$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} + 0$

Étape 1.4.2

Associez des termes.

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Étape 1.4.2.1

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + 0$

Étape 1.4.2.2

Additionnez $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Comme $\frac{2}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$

Étape 2.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.2.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ comme ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}]$

Étape 2.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3} \cdot - 1}]$

Étape 2.2.2.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $- 1$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{3}}]$

Étape 2.2.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{3}}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - \frac{1}{3}$ .

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{3} - 1})$

Étape 2.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Étape 2.5

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 2.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.7.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x^{\frac{- 1 - 3}{3}})$

Étape 2.7.2

Soustrayez $3$ de $- 1$ .

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x^{\frac{- 4}{3}})$

Étape 2.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x^{- \frac{4}{3}})$

Étape 2.9

Associez $x^{- \frac{4}{3}}$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2}{3} (- \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

Étape 2.10

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $\frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3}$ .

$- \frac{2 x^{- \frac{4}{3}}}{3 \cdot 3}$

Étape 2.11

Multipliez.

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Étape 2.11.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$- \frac{2 x^{- \frac{4}{3}}}{9}$

Étape 2.11.2

Placez $x^{- \frac{4}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}}$