Calcul infinitésimal Exemples

$- y = - 2 x^{2} + 3 x y^{3}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (- y) = \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 3 x y^{3})$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- y$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$- \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$- y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 2 x^{2} + 3 x y^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x y^{3}]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x y^{3}]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x y^{3}]$

Étape 3.2.3

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$- 4 x + \frac{d}{d x} [3 x y^{3}]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x y^{3}]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x y^{3}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x y^{3}]$ .

$- 4 x + 3 \frac{d}{d x} [x y^{3}]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y^{3}$ .

$- 4 x + 3 (x \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 3.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$- 4 x + 3 (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- 4 x + 3 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$- 4 x + 3 (x (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3.4

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$- 4 x + 3 (x (3 y^{2} y') + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 4 x + 3 (x (3 y^{2} y') + y^{3} \cdot 1)$

Étape 3.3.6

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$- 4 x + 3 (3 \cdot x y^{2} y' + y^{3} \cdot 1)$

Étape 3.3.7

Multipliez $y^{3}$ par $1$ .

$- 4 x + 3 (3 x y^{2} y' + y^{3})$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 4 x + 3 (3 x y^{2} y') + 3 y^{3}$

Étape 3.4.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$- 4 x + 9 x y^{2} y' + 3 y^{3}$

Étape 3.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$3 y^{3} + 9 y^{2} x y' - 4 x$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$- y' = 3 y^{3} + 9 y^{2} x y' - 4 x$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Soustrayez $9 y^{2} x y'$ des deux côtés de l’équation.

$- y' - 9 y^{2} x y' = 3 y^{3} - 4 x$

Étape 5.2

Factorisez $y'$ à partir de $- y' - 9 y^{2} x y'$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $y'$ à partir de $- y'$ .

$y' \cdot - 1 - 9 y^{2} x y' = 3 y^{3} - 4 x$

Étape 5.2.2

Factorisez $y'$ à partir de $- 9 y^{2} x y'$ .

$y' \cdot - 1 + y' (- 9 y^{2} x) = 3 y^{3} - 4 x$

Étape 5.2.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' \cdot - 1 + y' (- 9 y^{2} x)$ .

$y' (- 1 - 9 y^{2} x) = 3 y^{3} - 4 x$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $y' (- 1 - 9 y^{2} x) = 3 y^{3} - 4 x$ par $- 1 - 9 y^{2} x$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $y' (- 1 - 9 y^{2} x) = 3 y^{3} - 4 x$ par $- 1 - 9 y^{2} x$ .

$\frac{y' (- 1 - 9 y^{2} x)}{- 1 - 9 y^{2} x} = \frac{3 y^{3}}{- 1 - 9 y^{2} x} + \frac{- 4 x}{- 1 - 9 y^{2} x}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 1 - 9 y^{2} x$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (- 1 - 9 y^{2} x)}{- 1 - 9 y^{2} x} = \frac{3 y^{3}}{- 1 - 9 y^{2} x} + \frac{- 4 x}{- 1 - 9 y^{2} x}$

Étape 5.3.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{3 y^{3}}{- 1 - 9 y^{2} x} + \frac{- 4 x}{- 1 - 9 y^{2} x}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{3 y^{3} - 4 x}{- 1 - 9 y^{2} x}$

Étape 5.3.3.2

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$y' = \frac{3 y^{3} - 4 x}{- 1 (1) - 9 y^{2} x}$

Étape 5.3.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 9 y^{2} x$ .

$y' = \frac{3 y^{3} - 4 x}{- 1 (1) - (9 y^{2} x)}$

Étape 5.3.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (9 y^{2} x)$ .

$y' = \frac{3 y^{3} - 4 x}{- 1 (1 + 9 y^{2} x)}$

Étape 5.3.3.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{3 y^{3} - 4 x}{1 + 9 y^{2} x}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 y^{3} - 4 x}{1 + 9 y^{2} x}$