Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 6 x}{6 x^{2} + 2 x}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - 6 x}{lim_{x \to 2} 6 x^{2} + 2 x}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - lim_{x \to 2} 6 x}{lim_{x \to 2} 6 x^{2} + 2 x}$

Étape 3

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 6 x}{lim_{x \to 2} 6 x^{2} + 2 x}$

Étape 4

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 6 x}{lim_{x \to 2} 6 x^{2} + 2 x}$

Étape 5

Placez le terme $6$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 6 lim_{x \to 2} x}{lim_{x \to 2} 6 x^{2} + 2 x}$

Étape 6

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 6 lim_{x \to 2} x}{lim_{x \to 2} 6 x^{2} + lim_{x \to 2} 2 x}$

Étape 7

Placez le terme $6$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 6 lim_{x \to 2} x}{6 lim_{x \to 2} x^{2} + lim_{x \to 2} 2 x}$

Étape 8

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 6 lim_{x \to 2} x}{6 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} + lim_{x \to 2} 2 x}$

Étape 9

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 6 lim_{x \to 2} x}{6 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 2} x}$

Étape 10

Évaluez les limites en insérant $2$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 10.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

$\frac{3 \cdot 2^{2} - 6 lim_{x \to 2} x}{6 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 2} x}$

Étape 10.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

$\frac{3 \cdot 2^{2} - 6 \cdot 2}{6 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 2} x}$

Étape 10.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

$\frac{3 \cdot 2^{2} - 6 \cdot 2}{6 \cdot 2^{2} + 2 lim_{x \to 2} x}$

Étape 10.4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

$\frac{3 \cdot 2^{2} - 6 \cdot 2}{6 \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2}$

Étape 11

Simplifiez la réponse.

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Étape 11.1

Annulez le facteur commun à $3 \cdot 2^{2} - 6 \cdot 2$ et $6 \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2$ .

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Étape 11.1.1

Factorisez $2$ à partir de $3 \cdot 2^{2}$ .

$\frac{2 (3 \cdot 2) - 6 \cdot 2}{6 \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2}$

Étape 11.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 6 \cdot 2$ .

$\frac{2 (3 \cdot 2) + 2 (- 3 \cdot 2)}{6 \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2}$

Étape 11.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (3 \cdot 2) + 2 (- 3 \cdot 2)$ .

$\frac{2 (3 \cdot 2 - 3 \cdot 2)}{6 \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2}$

Étape 11.1.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $6 \cdot 2^{2}$ .

$\frac{2 (3 \cdot 2 - 3 \cdot 2)}{2 (3 \cdot 2^{2}) + 2 \cdot 2}$

Étape 11.1.4.2

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 2$ .

$\frac{2 (3 \cdot 2 - 3 \cdot 2)}{2 (3 \cdot 2^{2}) + 2 (2)}$

Étape 11.1.4.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (3 \cdot 2^{2}) + 2 (2)$ .

$\frac{2 (3 \cdot 2 - 3 \cdot 2)}{2 (3 \cdot 2^{2} + 2)}$

Étape 11.1.4.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (3 \cdot 2 - 3 \cdot 2)}{2 (3 \cdot 2^{2} + 2)}$

Étape 11.1.4.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 \cdot 2 - 3 \cdot 2}{3 \cdot 2^{2} + 2}$

Étape 11.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.2.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{6 - 3 \cdot 2}{3 \cdot 2^{2} + 2}$

Étape 11.2.2

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$\frac{6 - 6}{3 \cdot 2^{2} + 2}$

Étape 11.2.3

Soustrayez $6$ de $6$ .

$\frac{0}{3 \cdot 2^{2} + 2}$

Étape 11.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 11.3.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{0}{3 \cdot 4 + 2}$

Étape 11.3.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{0}{12 + 2}$

Étape 11.3.3

Additionnez $12$ et $2$ .

$\frac{0}{14}$

Étape 11.4

Divisez $0$ par $14$ .

$0$