Calcul infinitésimal Exemples

$x e^{x} d x$

Étape 1

Écrivez $x e^{x} d x$ comme une fonction.

$f (x) = x e^{x} d x$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int x e^{x} d x d x$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int x^{1} x e^{x} d d x$

Étape 4.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int x^{1} x^{1} e^{x} d d x$

Étape 4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int x^{1 + 1} e^{x} d d x$

Étape 4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int x^{2} e^{x} d d x$

Étape 5

Comme $d$ est constant par rapport à $x$ , placez $d$ en dehors de l’intégrale.

$d \int x^{2} e^{x} d x$

Étape 6

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x^{2}$ et $d v = e^{x}$ .

$d (x^{2} e^{x} - \int e^{x} (2 x) d x)$

Étape 7

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$d (x^{2} e^{x} - (2 \int e^{x} (x) d x))$

Étape 8

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$d (x^{2} e^{x} - 2 \int e^{x} (x) d x)$

Étape 9

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = e^{x}$ .

$d (x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - \int e^{x} d x))$

Étape 10

L’intégrale de $e^{x}$ par rapport à $x$ est $e^{x}$ .

$d (x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)))$

Étape 11

Réécrivez $d (x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)))$ comme $d (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) + C$ .

$d (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) + C$

Étape 12

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = x e^{x} d x$ .

$F (x) =$ $d (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) + C$