Calcul infinitésimal Exemples

$\int 6 (3 x + 1) e^{15 x^{2} + 10 x - 15} d x$

Étape 1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , placez $6$ en dehors de l’intégrale.

$6 \int (3 x + 1) e^{15 x^{2} + 10 x - 15} d x$

Étape 2

Laissez $u = 15 x^{2} + 10 x - 15$ . Alors $d u = (30 x + 10) d x$ , donc $\frac{1}{10} d u = (3 x + 1) d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = 15 x^{2} + 10 x - 15$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $15 x^{2} + 10 x - 15$ .

$\frac{d}{d x} [15 x^{2} + 10 x - 15]$

Étape 2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $15 x^{2} + 10 x - 15$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 15]$ .

$\frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [15 x^{2}]$ .

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Étape 2.1.3.1

Comme $15$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $15 x^{2}$ par rapport à $x$ est $15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$15 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$15 (2 x) + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Étape 2.1.3.3

Multipliez $2$ par $15$ .

$30 x + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Étape 2.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [10 x]$ .

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Étape 2.1.4.1

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10 x$ par rapport à $x$ est $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$30 x + 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Étape 2.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$30 x + 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 15]$

Étape 2.1.4.3

Multipliez $10$ par $1$ .

$30 x + 10 + \frac{d}{d x} [- 15]$

Étape 2.1.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.1.5.1

Comme $- 15$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 15$ par rapport à $x$ est $0$ .

$30 x + 10 + 0$

Étape 2.1.5.2

Additionnez $30 x + 10$ et $0$ .

$30 x + 10$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$6 \int e^{u} \frac{1}{10} d u$

Étape 3

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{10}$ .

$6 \int \frac{e^{u}}{10} d u$

Étape 4

Comme $\frac{1}{10}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{10}$ en dehors de l’intégrale.

$6 (\frac{1}{10} \int e^{u} d u)$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Associez $\frac{1}{10}$ et $6$ .

$\frac{6}{10} \int e^{u} d u$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun à $6$ et $10$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{2 (3)}{10} \int e^{u} d u$

Étape 5.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 5} \int e^{u} d u$

Étape 5.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 5} \int e^{u} d u$

Étape 5.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{5} \int e^{u} d u$

Étape 6

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$\frac{3}{5} (e^{u} + C)$

Étape 7

Simplifiez

$\frac{3}{5} e^{u} + C$

Étape 8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $15 x^{2} + 10 x - 15$ .

$\frac{3}{5} e^{15 x^{2} + 10 x - 15} + C$