Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{4} (θ) \tan^{4} (θ) d θ$

Étape 1

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1

Réécrivez $4$ comme $2$ plus $2$

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {\sec (θ)}^{2 + 2} \tan^{4} (θ) d θ$

Étape 1.2

Réécrivez ${\sec (θ)}^{2 + 2}$ comme $\sec^{2} (θ) \sec^{2} (θ)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (θ) \sec^{2} (θ) \tan^{4} (θ) d θ$

Étape 2

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\sec^{2} (θ)$ comme $1 + \tan^{2} (θ)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} (1 + \tan^{2} (θ)) \sec^{2} (θ) \tan^{4} (θ) d θ$

Étape 3

Laissez $u = \tan (θ)$ . Alors $d u = \sec^{2} (θ) d θ$ , donc $\frac{1}{\sec^{2} (θ)} d u = d θ$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 3.1

Laissez $u = \tan (θ)$ . Déterminez $\frac{d u}{d θ}$ .

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Étape 3.1.1

Différenciez $\tan (θ)$ .

$\frac{d}{d θ} [\tan (θ)]$

Étape 3.1.2

La dérivée de $\tan (θ)$ par rapport à $θ$ est $\sec^{2} (θ)$ .

$\sec^{2} (θ)$

Étape 3.2

Remplacez la limite inférieure pour $θ$ dans $u = \tan (θ)$ .

$u_{lower} = \tan (0)$

Étape 3.3

La valeur exacte de $\tan (0)$ est $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 3.4

Remplacez la limite supérieure pour $θ$ dans $u = \tan (θ)$ .

$u_{upper} = \tan (\frac{π}{4})$

Étape 3.5

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{4})$ est $1$ .

$u_{upper} = 1$

Étape 3.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Étape 3.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{0}^{1} (1 + u^{2}) u^{4} d u$

Étape 4

Multipliez $(1 + u^{2}) u^{4}$ .

$\int_{0}^{1} 1 u^{4} + u^{2} u^{4} d u$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Multipliez $u^{4}$ par $1$ .

$\int_{0}^{1} u^{4} + u^{2} u^{4} d u$

Étape 5.2

Multipliez $u^{2}$ par $u^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int_{0}^{1} u^{4} + u^{2 + 4} d u$

Étape 5.2.2

Additionnez $2$ et $4$ .

$\int_{0}^{1} u^{4} + u^{6} d u$

Étape 6

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{1} u^{4} d u + \int_{0}^{1} u^{6} d u$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{4}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} u^{6} d u$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{6}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{7} u^{7}$ .

$\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} + \frac{1}{7} u^{7}]_{0}^{1}$

Étape 9

Associez $\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1}$ et $\frac{1}{7} u^{7}]_{0}^{1}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{7} u^{7}]_{0}^{1}$

Étape 10

Remplacez et simplifiez.

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Étape 10.1

Évaluez $\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{7} u^{7}$ sur $1$ et sur $0$ .

$(\frac{1}{5} \cdot 1^{5} + \frac{1}{7} \cdot 1^{7}) - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Étape 10.2

Simplifiez

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Étape 10.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{5} \cdot 1 + \frac{1}{7} \cdot 1^{7} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Étape 10.2.2

Multipliez $\frac{1}{5}$ par $1$ .

$\frac{1}{5} + \frac{1}{7} \cdot 1^{7} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Étape 10.2.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{5} + \frac{1}{7} \cdot 1 - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Étape 10.2.4

Multipliez $\frac{1}{7}$ par $1$ .

$\frac{1}{5} + \frac{1}{7} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Étape 10.2.5

Pour écrire $\frac{1}{5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{7}{7}$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{7}{7} + \frac{1}{7} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Étape 10.2.6

Pour écrire $\frac{1}{7}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{7}{7} + \frac{1}{7} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Étape 10.2.7

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $35$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 10.2.7.1

Multipliez $\frac{1}{5}$ par $\frac{7}{7}$ .

$\frac{7}{5 \cdot 7} + \frac{1}{7} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Étape 10.2.7.2

Multipliez $5$ par $7$ .

$\frac{7}{35} + \frac{1}{7} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Étape 10.2.7.3

Multipliez $\frac{1}{7}$ par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{7}{35} + \frac{5}{7 \cdot 5} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Étape 10.2.7.4

Multipliez $7$ par $5$ .

$\frac{7}{35} + \frac{5}{35} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Étape 10.2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{7 + 5}{35} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Étape 10.2.9

Additionnez $7$ et $5$ .

$\frac{12}{35} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Étape 10.2.10

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{12}{35} - (\frac{1}{5} \cdot 0 + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Étape 10.2.11

Multipliez $\frac{1}{5}$ par $0$ .

$\frac{12}{35} - (0 + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Étape 10.2.12

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{12}{35} - (0 + \frac{1}{7} \cdot 0)$

Étape 10.2.13

Multipliez $\frac{1}{7}$ par $0$ .

$\frac{12}{35} - (0 + 0)$

Étape 10.2.14

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{12}{35} - 0$

Étape 10.2.15

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{12}{35} + 0$

Étape 10.2.16

Additionnez $\frac{12}{35}$ et $0$ .

$\frac{12}{35}$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{12}{35}$

Forme décimale :

$0.3\overline{428571}$