Calcul infinitésimal Exemples

$2 x^{3} - \frac{2}{3} x^{2} + 5 x$

Étape 1

Écrivez $2 x^{3} - \frac{2}{3} x^{2} + 5 x$ comme une fonction.

$f (x) = 2 x^{3} - \frac{2}{3} x^{2} + 5 x$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int 2 x^{3} - \frac{2}{3} x^{2} + 5 x d x$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 2 x^{3} d x + \int - \frac{2}{3} x^{2} d x + \int 5 x d x$

Étape 5

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int x^{3} d x + \int - \frac{2}{3} x^{2} d x + \int 5 x d x$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - \frac{2}{3} x^{2} d x + \int 5 x d x$

Étape 7

Comme $- \frac{2}{3}$ est constant par rapport à $x$ , placez $- \frac{2}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - \frac{2}{3} \int x^{2} d x + \int 5 x d x$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - \frac{2}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 5 x d x$

Étape 9

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - \frac{2}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 5 \int x d x$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - \frac{2}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 5 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Étape 11

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Étape 11.1

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$\frac{x^{4}}{2} - \frac{2 x^{3}}{9} + 5 (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Étape 11.2

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Étape 11.2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{x^{4}}{2} - \frac{2 x^{3}}{9} + 5 \frac{x^{2}}{2} + C$

Étape 11.2.2

Associez $5$ et $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{x^{4}}{2} - \frac{2 x^{3}}{9} + \frac{5 x^{2}}{2} + C$

Étape 12

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{2} x^{4} - \frac{2}{9} x^{3} + \frac{5}{2} x^{2} + C$

Étape 13

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = 2 x^{3} - \frac{2}{3} x^{2} + 5 x$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x^{4} - \frac{2}{9} x^{3} + \frac{5}{2} x^{2} + C$