Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{3} \frac{6}{9 + x^{2}} d x$

Étape 1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , placez $6$ en dehors de l’intégrale.

$6 \int_{0}^{3} \frac{1}{9 + x^{2}} d x$

Étape 2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$6 \int_{0}^{3} \frac{1}{3^{2} + x^{2}} d x$

Étape 3

L’intégrale de $\frac{1}{3^{2} + x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} \arctan (\frac{x}{3})]_{0}^{3}$ .

$6 (\frac{1}{3} \arctan (\frac{x}{3})]_{0}^{3})$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $\arctan (\frac{x}{3})$ .

$6 (\frac{\arctan (\frac{x}{3})}{3}]_{0}^{3})$

Étape 4.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 4.2.1

Évaluez $\frac{\arctan (\frac{x}{3})}{3}$ sur $3$ et sur $0$ .

$6 ((\frac{\arctan (\frac{3}{3})}{3}) - \frac{\arctan (\frac{0}{3})}{3})$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$6 (\frac{\arctan (\frac{3}{3})}{3} - \frac{\arctan (\frac{0}{3})}{3})$

Étape 4.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$6 (\frac{\arctan (1)}{3} - \frac{\arctan (\frac{0}{3})}{3})$

Étape 4.2.2.2

Annulez le facteur commun à $0$ et $3$ .

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Étape 4.2.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $0$ .

$6 (\frac{\arctan (1)}{3} - \frac{\arctan (\frac{3 (0)}{3})}{3})$

Étape 4.2.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.2.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$6 (\frac{\arctan (1)}{3} - \frac{\arctan (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})}{3})$

Étape 4.2.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$6 (\frac{\arctan (1)}{3} - \frac{\arctan (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})}{3})$

Étape 4.2.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$6 (\frac{\arctan (1)}{3} - \frac{\arctan (\frac{0}{1})}{3})$

Étape 4.2.2.2.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$6 (\frac{\arctan (1)}{3} - \frac{\arctan (0)}{3})$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$6 \frac{\arctan (1) - \arctan (0)}{3}$

Étape 5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1

La valeur exacte de $\arctan (1)$ est $\frac{π}{4}$ .

$6 \frac{\frac{π}{4} - \arctan (0)}{3}$

Étape 5.2.2

La valeur exacte de $\arctan (0)$ est $0$ .

$6 \frac{\frac{π}{4} - 0}{3}$

Étape 5.2.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$6 \frac{\frac{π}{4} + 0}{3}$

Étape 5.3

Additionnez $\frac{π}{4}$ et $0$ .

$6 \frac{\frac{π}{4}}{3}$

Étape 5.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.4.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$3 (2) \frac{\frac{π}{4}}{3}$

Étape 5.4.2

Annulez le facteur commun.

$3 \cdot 2 \frac{\frac{π}{4}}{3}$

Étape 5.4.3

Réécrivez l’expression.

$2 \frac{π}{4}$

Étape 5.5

Associez $2$ et $\frac{π}{4}$ .

$\frac{2 π}{4}$

Étape 5.6

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 5.6.1

Factorisez $2$ à partir de $2 π$ .

$\frac{2 (π)}{4}$

Étape 5.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Étape 5.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Étape 5.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{π}{2}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{π}{2}$

Forme décimale :

$1.57079632 \dots$

Étape 7