Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{5 x^{3} + 8 x^{3}}{3 x^{4} - 16 x^{2}}$

Étape 1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1

Additionnez $5 x^{3}$ et $8 x^{3}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{13 x^{3}}{3 x^{4} - 16 x^{2}}$

Étape 1.2

Placez le terme $13$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$13 lim_{x \to 0} \frac{x^{3}}{3 x^{4} - 16 x^{2}}$

Étape 2

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 2.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$13 \frac{lim_{x \to 0} x^{3}}{lim_{x \to 0} 3 x^{4} - 16 x^{2}}$

Étape 2.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 2.1.2.1

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$13 \frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{3}}{lim_{x \to 0} 3 x^{4} - 16 x^{2}}$

Étape 2.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$13 \frac{0^{3}}{lim_{x \to 0} 3 x^{4} - 16 x^{2}}$

Étape 2.1.2.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$13 \frac{0}{lim_{x \to 0} 3 x^{4} - 16 x^{2}}$

Étape 2.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$13 \frac{0}{lim_{x \to 0} 3 x^{4} - lim_{x \to 0} 16 x^{2}}$

Étape 2.1.3.2

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$13 \frac{0}{3 lim_{x \to 0} x^{4} - lim_{x \to 0} 16 x^{2}}$

Étape 2.1.3.3

Déplacez l’exposant $4$ de $x^{4}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$13 \frac{0}{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{4} - lim_{x \to 0} 16 x^{2}}$

Étape 2.1.3.4

Placez le terme $16$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$13 \frac{0}{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{4} - 16 lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 2.1.3.5

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$13 \frac{0}{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{4} - 16 {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Étape 2.1.3.6

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 2.1.3.6.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$13 \frac{0}{3 \cdot 0^{4} - 16 {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Étape 2.1.3.6.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$13 \frac{0}{3 \cdot 0^{4} - 16 \cdot 0^{2}}$

Étape 2.1.3.7

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1.3.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.3.7.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$13 \frac{0}{3 \cdot 0 - 16 \cdot 0^{2}}$

Étape 2.1.3.7.1.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$13 \frac{0}{0 - 16 \cdot 0^{2}}$

Étape 2.1.3.7.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$13 \frac{0}{0 - 16 \cdot 0}$

Étape 2.1.3.7.1.4

Multipliez $- 16$ par $0$ .

$13 \frac{0}{0 + 0}$

Étape 2.1.3.7.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$13 (\frac{0}{0})$

Étape 2.1.3.7.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$13 (\frac{0}{0})$

Étape 2.1.3.8

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$13 (\frac{0}{0})$

Étape 2.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$13 (\frac{0}{0})$

Étape 2.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{3}}{3 x^{4} - 16 x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [3 x^{4} - 16 x^{2}]}$

Étape 2.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 2.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$13 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [3 x^{4} - 16 x^{2}]}$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$13 lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [3 x^{4} - 16 x^{2}]}$

Étape 2.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{4} - 16 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{2}]$ .

$13 lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{2}]}$

Étape 2.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

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Étape 2.3.4.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{4}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$13 lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{2}]}$

Étape 2.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$13 lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{3 \cdot 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 16 x^{2}]}$

Étape 2.3.4.3

Multipliez $4$ par $3$ .

$13 lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 16 x^{2}]}$

Étape 2.3.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 16 x^{2}]$ .

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Étape 2.3.5.1

Comme $- 16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 16 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$13 lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{12 x^{3} - 16 \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 2.3.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$13 lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{12 x^{3} - 16 \cdot 2 x}$

Étape 2.3.5.3

Multipliez $2$ par $- 16$ .

$13 lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{12 x^{3} - 32 x}$

Étape 3

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{12 x^{3} - 32 x}$

Étape 4

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 4.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 4.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$13 \cdot 3 \frac{lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} 12 x^{3} - 32 x}$

Étape 4.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 4.1.2.1

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$13 \cdot 3 \frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} 12 x^{3} - 32 x}$

Étape 4.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$13 \cdot 3 \frac{0^{2}}{lim_{x \to 0} 12 x^{3} - 32 x}$

Étape 4.1.2.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$13 \cdot 3 \frac{0}{lim_{x \to 0} 12 x^{3} - 32 x}$

Étape 4.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 4.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$13 \cdot 3 \frac{0}{lim_{x \to 0} 12 x^{3} - lim_{x \to 0} 32 x}$

Étape 4.1.3.2

Placez le terme $12$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$13 \cdot 3 \frac{0}{12 lim_{x \to 0} x^{3} - lim_{x \to 0} 32 x}$

Étape 4.1.3.3

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$13 \cdot 3 \frac{0}{12 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} - lim_{x \to 0} 32 x}$

Étape 4.1.3.4

Placez le terme $32$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$13 \cdot 3 \frac{0}{12 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} - 32 lim_{x \to 0} x}$

Étape 4.1.3.5

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 4.1.3.5.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$13 \cdot 3 \frac{0}{12 \cdot 0^{3} - 32 lim_{x \to 0} x}$

Étape 4.1.3.5.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$13 \cdot 3 \frac{0}{12 \cdot 0^{3} - 32 \cdot 0}$

Étape 4.1.3.6

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1.3.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.3.6.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$13 \cdot 3 \frac{0}{12 \cdot 0 - 32 \cdot 0}$

Étape 4.1.3.6.1.2

Multipliez $12$ par $0$ .

$13 \cdot 3 \frac{0}{0 - 32 \cdot 0}$

Étape 4.1.3.6.1.3

Multipliez $- 32$ par $0$ .

$13 \cdot 3 \frac{0}{0 + 0}$

Étape 4.1.3.6.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$13 \cdot 3 \frac{0}{0}$

Étape 4.1.3.6.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$13 \cdot 3 \frac{0}{0}$

Étape 4.1.3.7

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$13 \cdot 3 \frac{0}{0}$

Étape 4.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$13 \cdot 3 \frac{0}{0}$

Étape 4.2

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{12 x^{3} - 32 x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [12 x^{3} - 32 x]}$

Étape 4.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 4.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [12 x^{3} - 32 x]}$

Étape 4.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [12 x^{3} - 32 x]}$

Étape 4.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $12 x^{3} - 32 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x]$ .

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x]}$

Étape 4.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

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Étape 4.3.4.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 x^{3}$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{12 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x]}$

Étape 4.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{12 \cdot 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 32 x]}$

Étape 4.3.4.3

Multipliez $3$ par $12$ .

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{36 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 32 x]}$

Étape 4.3.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 32 x]$ .

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Étape 4.3.5.1

Comme $- 32$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 32 x$ par rapport à $x$ est $- 32 \frac{d}{d x} [x]$ .

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{36 x^{2} - 32 \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 4.3.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{36 x^{2} - 32 \cdot 1}$

Étape 4.3.5.3

Multipliez $- 32$ par $1$ .

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{36 x^{2} - 32}$

Étape 4.4

Annulez le facteur commun à $2$ et $36 x^{2} - 32$ .

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Étape 4.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{2 (x)}{36 x^{2} - 32}$

Étape 4.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $36 x^{2}$ .

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{2 (x)}{2 \cdot 18 x^{2} - 32}$

Étape 4.4.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 32$ .

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 \cdot 18 x^{2} + 2 \cdot - 16}$

Étape 4.4.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (18 x^{2}) + 2 (- 16)$ .

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{2 (x)}{2 (18 x^{2} - 16)}$

Étape 4.4.2.4

Annulez le facteur commun.

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 (18 x^{2} - 16)}$

Étape 4.4.2.5

Réécrivez l’expression.

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{x}{18 x^{2} - 16}$

Étape 5

Évaluez la limite.

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Étape 5.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$13 \cdot 3 \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 18 x^{2} - 16}$

Étape 5.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$13 \cdot 3 \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 18 x^{2} - lim_{x \to 0} 16}$

Étape 5.3

Placez le terme $18$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$13 \cdot 3 \frac{lim_{x \to 0} x}{18 lim_{x \to 0} x^{2} - lim_{x \to 0} 16}$

Étape 5.4

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$13 \cdot 3 \frac{lim_{x \to 0} x}{18 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} 16}$

Étape 5.5

Évaluez la limite de $16$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$13 \cdot 3 \frac{lim_{x \to 0} x}{18 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 1 \cdot 16}$

Étape 6

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 6.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$13 \cdot 3 \frac{0}{18 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 1 \cdot 16}$

Étape 6.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$13 \cdot 3 \frac{0}{18 \cdot 0^{2} - 1 \cdot 16}$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Multipliez $13$ par $3$ .

$39 \frac{0}{18 \cdot 0^{2} - 1 \cdot 16}$

Étape 7.2

Annulez le facteur commun à $0$ et $18 \cdot 0^{2} - 1 \cdot 16$ .

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Étape 7.2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $18 \cdot 0^{2}$ .

$39 \frac{0}{- (- 18 \cdot 0^{2}) - 1 \cdot 16}$

Étape 7.2.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 \cdot 16$ .

$39 \frac{0}{- (- 18 \cdot 0^{2}) - 1 (16)}$

Étape 7.2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (- 18 \cdot 0^{2}) - 1 (16)$ .

$39 \frac{0}{- (- 18 \cdot 0^{2} + 16)}$

Étape 7.2.4

Réécrivez $- (- 18 \cdot 0^{2} + 16)$ comme $- 1 (- 18 \cdot 0^{2} + 16)$ .

$39 \frac{0}{- 1 (- 18 \cdot 0^{2} + 16)}$

Étape 7.2.5

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$39 \frac{2 (0)}{- 1 (- 18 \cdot 0^{2} + 16)}$

Étape 7.2.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.6.1

Factorisez $2$ à partir de $- 1 (- 18 \cdot 0^{2} + 16)$ .

$39 \frac{2 (0)}{2 (- 1 (- 9 \cdot 0^{2} + 8))}$

Étape 7.2.6.2

Annulez le facteur commun.

$39 \frac{2 \cdot 0}{2 (- 1 (- 9 \cdot 0^{2} + 8))}$

Étape 7.2.6.3

Réécrivez l’expression.

$39 \frac{0}{- 1 (- 9 \cdot 0^{2} + 8)}$

Étape 7.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$39 \frac{0}{- 1 (- 9 \cdot 0 + 8)}$

Étape 7.3.2

Multipliez $- 9$ par $0$ .

$39 \frac{0}{- 1 (0 + 8)}$

Étape 7.3.3

Additionnez $0$ et $8$ .

$39 \frac{0}{- 1 \cdot 8}$

Étape 7.4

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$39 (\frac{0}{- 8})$

Étape 7.5

Divisez $0$ par $- 8$ .

$39 \cdot 0$

Étape 7.6

Multipliez $39$ par $0$ .

$0$