Calcul infinitésimal Exemples

$\int 2 x^{2} (x - 2) (4 x - 5) d x$

Étape 1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int (x^{2} (x - 2)) (4 x - 5) d x$

Étape 2

Laissez $u_{1} = 4 x - 5$ . Alors $d u_{1} = 4 d x$ , donc $\frac{1}{4} d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 2.1

Laissez $u_{1} = 4 x - 5$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $4 x - 5$ .

$\frac{d}{d x} [4 x - 5]$

Étape 2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x - 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Étape 2.1.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Étape 2.1.3.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Étape 2.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.1.4.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 + 0$

Étape 2.1.4.2

Additionnez $4$ et $0$ .

$4$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$2 \int {(\frac{u_{1}}{4} + \frac{5}{4})}^{2} (\frac{u_{1}}{4} + \frac{5}{4} - 2) u_{1} \frac{1}{4} d u_{1}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Pour écrire $- 2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$2 \int {(\frac{u_{1}}{4} + \frac{5}{4})}^{2} (\frac{u_{1}}{4} + \frac{5}{4} - 2 \cdot \frac{4}{4}) u_{1} \frac{1}{4} d u_{1}$

Étape 3.2

Associez $- 2$ et $\frac{4}{4}$ .

$2 \int {(\frac{u_{1}}{4} + \frac{5}{4})}^{2} (\frac{u_{1}}{4} + \frac{5}{4} + \frac{- 2 \cdot 4}{4}) u_{1} \frac{1}{4} d u_{1}$

Étape 3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 \int {(\frac{u_{1}}{4} + \frac{5}{4})}^{2} (\frac{u_{1}}{4} + \frac{5 - 2 \cdot 4}{4}) u_{1} \frac{1}{4} d u_{1}$

Étape 3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.1

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$2 \int {(\frac{u_{1}}{4} + \frac{5}{4})}^{2} (\frac{u_{1}}{4} + \frac{5 - 8}{4}) u_{1} \frac{1}{4} d u_{1}$

Étape 3.4.2

Soustrayez $8$ de $5$ .

$2 \int {(\frac{u_{1}}{4} + \frac{5}{4})}^{2} (\frac{u_{1}}{4} + \frac{- 3}{4}) u_{1} \frac{1}{4} d u_{1}$

Étape 3.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 \int {(\frac{u_{1}}{4} + \frac{5}{4})}^{2} (\frac{u_{1}}{4} - \frac{3}{4}) u_{1} \frac{1}{4} d u_{1}$

Étape 3.6

Associez $\frac{1}{4}$ et ${(\frac{u_{1}}{4} + \frac{5}{4})}^{2}$ .

$2 \int \frac{{(\frac{u_{1}}{4} + \frac{5}{4})}^{2}}{4} (\frac{u_{1}}{4} - \frac{3}{4}) u_{1} d u_{1}$

Étape 3.7

Associez $u_{1}$ et $\frac{{(\frac{u_{1}}{4} + \frac{5}{4})}^{2}}{4}$ .

$2 \int \frac{u_{1} {(\frac{u_{1}}{4} + \frac{5}{4})}^{2}}{4} (\frac{u_{1}}{4} - \frac{3}{4}) d u_{1}$

Étape 4

Laissez $u_{2} = \frac{u_{1}}{4} + \frac{5}{4}$ . Alors $d u_{2} = \frac{1}{4} d u_{1}$ , donc $4 d u_{2} = d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 4.1

Laissez $u_{2} = \frac{u_{1}}{4} + \frac{5}{4}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $\frac{u_{1}}{4} + \frac{5}{4}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{4} + \frac{5}{4}]$

Étape 4.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{u_{1}}{4} + \frac{5}{4}$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{4}] + \frac{d}{d u_{1}} [\frac{5}{4}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{4}] + \frac{d}{d u_{1}} [\frac{5}{4}]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{4}]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , la dérivée de $\frac{u_{1}}{4}$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{4} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [\frac{5}{4}]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot 1 + \frac{d}{d u_{1}} [\frac{5}{4}]$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $1$ .

$\frac{1}{4} + \frac{d}{d u_{1}} [\frac{5}{4}]$

Étape 4.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.1.4.1

Comme $\frac{5}{4}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , la dérivée de $\frac{5}{4}$ par rapport à $u_{1}$ est $0$ .

$\frac{1}{4} + 0$

Étape 4.1.4.2

Additionnez $\frac{1}{4}$ et $0$ .

$\frac{1}{4}$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$2 \int (4 u_{2} - 5) {u_{2}}^{2} (\frac{4 u_{2} - 5}{4} - \frac{3}{4}) d u_{2}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 \int (4 u_{2} - 5) {u_{2}}^{2} \frac{4 u_{2} - 5 - 3}{4} d u_{2}$

Étape 5.2

Soustrayez $3$ de $- 5$ .

$2 \int (4 u_{2} - 5) {u_{2}}^{2} \frac{4 u_{2} - 8}{4} d u_{2}$

Étape 5.3

Annulez le facteur commun à $4 u_{2} - 8$ et $4$ .

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Étape 5.3.1

Factorisez $4$ à partir de $4 u_{2}$ .

$2 \int (4 u_{2} - 5) {u_{2}}^{2} \frac{4 (u_{2}) - 8}{4} d u_{2}$

Étape 5.3.2

Factorisez $4$ à partir de $- 8$ .

$2 \int (4 u_{2} - 5) {u_{2}}^{2} \frac{4 (u_{2}) + 4 \cdot - 2}{4} d u_{2}$

Étape 5.3.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (u_{2}) + 4 (- 2)$ .

$2 \int (4 u_{2} - 5) {u_{2}}^{2} \frac{4 (u_{2} - 2)}{4} d u_{2}$

Étape 5.3.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.4.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$2 \int (4 u_{2} - 5) {u_{2}}^{2} \frac{4 (u_{2} - 2)}{4 (1)} d u_{2}$

Étape 5.3.4.2

Annulez le facteur commun.

$2 \int (4 u_{2} - 5) {u_{2}}^{2} \frac{4 (u_{2} - 2)}{4 \cdot 1} d u_{2}$

Étape 5.3.4.3

Réécrivez l’expression.

$2 \int (4 u_{2} - 5) {u_{2}}^{2} \frac{u_{2} - 2}{1} d u_{2}$

Étape 5.3.4.4

Divisez $u_{2} - 2$ par $1$ .

$2 \int (4 u_{2} - 5) {u_{2}}^{2} (u_{2} - 2) d u_{2}$

Étape 6

Laissez $u_{3} = u_{2} - 2$ . Puis $d u_{3} = d u_{2}$ . Réécrivez avec $u_{3}$ et $d$ $u_{3}$ .

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Étape 6.1

Laissez $u_{3} = u_{2} - 2$ . Déterminez $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

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Étape 6.1.1

Différenciez $u_{2} - 2$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [u_{2} - 2]$

Étape 6.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $u_{2} - 2$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{d}{d u_{2}} [u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [- 2]$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [- 2]$

Étape 6.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{2}} [- 2]$

Étape 6.1.4

Comme $- 2$ est constant par rapport à $u_{2}$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $u_{2}$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 6.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 6.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{3}$ et $d u_{3}$ .

$2 \int (4 (u_{3} + 2) - 5) {(u_{3} + 2)}^{2} u_{3} d u_{3}$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Réécrivez ${(u_{3} + 2)}^{2}$ comme $(u_{3} + 2) (u_{3} + 2)$ .

$2 \int (4 (u_{3} + 2) - 5) ((u_{3} + 2) (u_{3} + 2)) u_{3} d u_{3}$

Étape 7.2