Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 4 - 45 x + 3 x^{2} + x^{3}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 - 45 x + 3 x^{2} + x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 45 x] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 45 x] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 1.1.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 45 x] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 45 x]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $- 45$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 45 x$ par rapport à $x$ est $- 45 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 45 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 - 45 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 1.2.3

Multipliez $- 45$ par $1$ .

$0 - 45 + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 45 + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 - 45 + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 1.3.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$0 - 45 + 6 x + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$0 - 45 + 6 x + 3 x^{2}$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Soustrayez $45$ de $0$ .

$- 45 + 6 x + 3 x^{2}$

Étape 1.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$3 x^{2} + 6 x - 45$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} + 6 x - 45$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 45]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 45)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 45)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 45)$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 45)$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x + 6 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 45)$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 45)$

Étape 2.3.3

Multipliez $6$ par $1$ .

$f'' (x) = 6 x + 6 + \frac{d}{d x} (- 45)$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.4.1

Comme $- 45$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 45$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 6 x + 6 + 0$

Étape 2.4.2

Additionnez $6 x + 6$ et $0$ .

$f'' (x) = 6 x + 6$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$3 x^{2} + 6 x - 45 = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Différenciez.

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Étape 4.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 - 45 x + 3 x^{2} + x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 45 x] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 45 x] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 4.1.1.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 45 x] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 45 x]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $- 45$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 45 x$ par rapport à $x$ est $- 45 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 45 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 - 45 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $- 45$ par $1$ .

$0 - 45 + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 45 + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 - 45 + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$0 - 45 + 6 x + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 4.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$0 - 45 + 6 x + 3 x^{2}$

Étape 4.1.5

Simplifiez

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Étape 4.1.5.1

Soustrayez $45$ de $0$ .

$- 45 + 6 x + 3 x^{2}$

Étape 4.1.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = 3 x^{2} + 6 x - 45$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $3 x^{2} + 6 x - 45$ .

$3 x^{2} + 6 x - 45$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $3 x^{2} + 6 x - 45 = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$3 x^{2} + 6 x - 45 = 0$

Étape 5.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 5.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2} + 6 x - 45$ .

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Étape 5.2.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) + 6 x - 45 = 0$

Étape 5.2.1.2

Factorisez $3$ à partir de $6 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (2 x) - 45 = 0$

Étape 5.2.1.3

Factorisez $3$ à partir de $- 45$ .

$3 x^{2} + 3 (2 x) + 3 \cdot - 15 = 0$

Étape 5.2.1.4

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2} + 3 (2 x)$ .

$3 (x^{2} + 2 x) + 3 \cdot - 15 = 0$

Étape 5.2.1.5

Factorisez $3$ à partir de $3 (x^{2} + 2 x) + 3 \cdot - 15$ .

$3 (x^{2} + 2 x - 15) = 0$

Étape 5.2.2

Factorisez.

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Étape 5.2.2.1

Factorisez $x^{2} + 2 x - 15$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 5.2.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 15$ et dont la somme est $2$ .

$- 3, 5$

Étape 5.2.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$3 ((x - 3) (x + 5)) = 0$

Étape 5.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$3 (x - 3) (x + 5) = 0$

Étape 5.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 5 = 0$

Étape 5.4

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.4.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 5.4.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 5.5

Définissez $x + 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.5.1

Définissez $x + 5$ égal à $0$ .

$x + 5 = 0$

Étape 5.5.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 5$

Étape 5.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $3 (x - 3) (x + 5) = 0$ vraie.

$x = 3, - 5$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 3, - 5$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 3$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$6 (3) + 6$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Multipliez $6$ par $3$ .

$18 + 6$

Étape 9.2

Additionnez $18$ et $6$ .

$24$

Étape 10

$x = 3$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 3$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = 3$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f (3) = 4 - 45 \cdot 3 + 3 {(3)}^{2} + {(3)}^{3}$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

Multipliez $- 45$ par $3$ .

$f (3) = 4 - 135 + 3 {(3)}^{2} + {(3)}^{3}$

Étape 11.2.1.2

Multipliez $3$ par ${(3)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 11.2.1.2.1

Multipliez $3$ par ${(3)}^{2}$ .

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Étape 11.2.1.2.1.1

Élevez $3$ à la puissance $1$ .

$f (3) = 4 - 135 + 3 {(3)}^{2} + {(3)}^{3}$

Étape 11.2.1.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (3) = 4 - 135 + 3^{1 + 2} + {(3)}^{3}$

Étape 11.2.1.2.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$f (3) = 4 - 135 + 3^{3} + {(3)}^{3}$

Étape 11.2.1.3

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f (3) = 4 - 135 + 27 + {(3)}^{3}$

Étape 11.2.1.4

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f (3) = 4 - 135 + 27 + 27$

Étape 11.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 11.2.2.1

Soustrayez $135$ de $4$ .

$f (3) = - 131 + 27 + 27$

Étape 11.2.2.2

Additionnez $- 131$ et $27$ .

$f (3) = - 104 + 27$

Étape 11.2.2.3

Additionnez $- 104$ et $27$ .

$f (3) = - 77$

Étape 11.2.3

La réponse finale est $- 77$ .

$y = - 77$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 5$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$6 (- 5) + 6$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Multipliez $6$ par $- 5$ .

$- 30 + 6$

Étape 13.2

Additionnez $- 30$ et $6$ .

$- 24$

Étape 14

$x = - 5$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - 5$ est un maximum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = - 5$ .

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Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $- 5$ dans l’expression.

$f (- 5) = 4 - 45 \cdot - 5 + 3 {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.1.1

Multipliez $- 45$ par $- 5$ .

$f (- 5) = 4 + 225 + 3 {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Étape 15.2.1.2

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$f (- 5) = 4 + 225 + 3 \cdot 25 + {(- 5)}^{3}$

Étape 15.2.1.3

Multipliez $3$ par $25$ .

$f (- 5) = 4 + 225 + 75 + {(- 5)}^{3}$

Étape 15.2.1.4

Élevez $- 5$ à la puissance $3$ .

$f (- 5) = 4 + 225 + 75 - 125$

Étape 15.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 15.2.2.1

Additionnez $4$ et $225$ .

$f (- 5) = 229 + 75 - 125$

Étape 15.2.2.2

Additionnez $229$ et $75$ .

$f (- 5) = 304 - 125$

Étape 15.2.2.3

Soustrayez $125$ de $304$ .

$f (- 5) = 179$

Étape 15.2.3

La réponse finale est $179$ .

$y = 179$

Étape 16

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 4 - 45 x + 3 x^{2} + x^{3}$ .

$(3, - 77)$ est un minimum local

$(- 5, 179)$ est un maximum local

Étape 17