Calcul infinitésimal Exemples

$x \sin^{2} (x)$

Étape 1

Écrivez $x \sin^{2} (x)$ comme une fonction.

$f (x) = x \sin^{2} (x)$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int x \sin^{2} (x) d x$

Étape 4

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = \sin^{2} (x)$ .

$x (\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x)) - \int \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x) d x$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$x (\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x)) - (\int \frac{1}{2} x d x + \int - \frac{1}{4} \sin (2 x) d x)$

Étape 6

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$x (\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x)) - (\frac{1}{2} \int x d x + \int - \frac{1}{4} \sin (2 x) d x)$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$x (\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - \frac{1}{4} \sin (2 x) d x)$

Étape 8

Comme $- \frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , placez $- \frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$x (\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \frac{1}{4} \int \sin (2 x) d x)$

Étape 9

Laissez $u = 2 x$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 9.1

Laissez $u = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 9.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 9.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 9.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 9.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 9.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$x (\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \frac{1}{4} \int \sin (u) \frac{1}{2} d u)$

Étape 10

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$x (\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int \sin (u) d u))$

Étape 11

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Étape 11.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x$ .

$x (\frac{x}{2} - \frac{1}{4} \sin (2 x)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int \sin (u) d u))$

Étape 11.2

Associez $\sin (2 x)$ et $\frac{1}{4}$ .

$x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4}) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int \sin (u) d u))$

Étape 12

L’intégrale de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $- \cos (u)$ .

$x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4}) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \frac{1}{4} (\frac{1}{2} (- \cos (u) + C)))$

Étape 13

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Étape 13.1

Simplifiez

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Étape 13.1.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{4}$ .

$x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4}) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \frac{1}{2 \cdot 4} (- \cos (u) + C))$

Étape 13.1.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4}) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \frac{1}{8} (- \cos (u) + C))$

Étape 13.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4}) - (\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C) - \frac{1}{8} (- \cos (u) + C))$

Étape 13.2

Simplifiez

$\frac{x^{2}}{2} - x \frac{\sin (2 x)}{4} - (\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{8} (- \cos (u))) + C$

Étape 13.3

Simplifiez

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Étape 13.3.1

Associez $\frac{\sin (2 x)}{4}$ et $x$ .

$\frac{x^{2}}{2} - \frac{\sin (2 x) x}{4} - (\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{8} (- \cos (u))) + C$

Étape 13.3.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2} - \frac{\sin (2 x) x}{4} - (\frac{x^{2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{8} (- \cos (u))) + C$

Étape 13.3.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{x^{2}}{2} - \frac{\sin (2 x) x}{4} - (\frac{x^{2}}{4} - \frac{1}{8} (- \cos (u))) + C$

Étape 13.3.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{x^{2}}{2} - \frac{\sin (2 x) x}{4} - (\frac{x^{2}}{4} + 1 (\frac{1}{8}) \cos (u)) + C$

Étape 13.3.5

Multipliez $\frac{1}{8}$ par $1$ .

$\frac{x^{2}}{2} - \frac{\sin (2 x) x}{4} - (\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{8} \cos (u)) + C$

Étape 13.3.6

Associez $\frac{1}{8}$ et $\cos (u)$ .

$\frac{x^{2}}{2} - \frac{\sin (2 x) x}{4} - (\frac{x^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{8}) + C$

Étape 13.3.7

Pour écrire $- (\frac{x^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{8})$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x^{2}}{2} - \frac{\sin (2 x) x}{4} - (\frac{x^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{8}) \cdot \frac{4}{4} + C$

Étape 13.3.8

Associez $- (\frac{x^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{8})$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x^{2}}{2} - \frac{\sin (2 x) x}{4} + \frac{- (\frac{x^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{8}) \cdot 4}{4} + C$

Étape 13.3.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 x) x - (\frac{x^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{8}) \cdot 4}{4} + C$

Étape 13.3.10

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 x) x - 4 (\frac{x^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{8})}{4} + C$

Étape 14

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 x) x - 4 (\frac{x^{2}}{4} + \frac{\cos (2 x)}{8})}{4} + C$

Étape 15

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Étape 15.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 x) x - 4 \frac{x^{2}}{4} - 4 \frac{\cos (2 x)}{8}}{4} + C$

Étape 15.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 15.2.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 x) x + 4 (- 1) \frac{x^{2}}{4} - 4 \frac{\cos (2 x)}{8}}{4} + C$

Étape 15.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 x) x + 4 \cdot - 1 \frac{x^{2}}{4} - 4 \frac{\cos (2 x)}{8}}{4} + C$

Étape 15.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 x) x - x^{2} - 4 \frac{\cos (2 x)}{8}}{4} + C$

Étape 15.3

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 15.3.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 x) x - x^{2} + 4 (- 1) \frac{\cos (2 x)}{8}}{4} + C$

Étape 15.3.2

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 x) x - x^{2} + 4 \cdot - 1 \frac{\cos (2 x)}{4 \cdot 2}}{4} + C$

Étape 15.3.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 x) x - x^{2} + 4 \cdot - 1 \frac{\cos (2 x)}{4 \cdot 2}}{4} + C$

Étape 15.3.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 x) x - x^{2} - \frac{\cos (2 x)}{2}}{4} + C$

Étape 16

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Étape 16.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sin (2 x) x$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{- (\sin (2 x) x) - x^{2} - \frac{\cos (2 x)}{2}}{4} + C$

Étape 16.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{- (\sin (2 x) x) - (x^{2}) - \frac{\cos (2 x)}{2}}{4} + C$

Étape 16.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (\sin (2 x) x) - (x^{2})$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{- (\sin (2 x) x + x^{2}) - \frac{\cos (2 x)}{2}}{4} + C$

Étape 16.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- \frac{\cos (2 x)}{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{- (\sin (2 x) x + x^{2}) - (\frac{\cos (2 x)}{2})}{4} + C$

Étape 16.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (\sin (2 x) x + x^{2}) - (\frac{\cos (2 x)}{2})$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{- (\sin (2 x) x + x^{2} + \frac{\cos (2 x)}{2})}{4} + C$

Étape 16.6

Réécrivez $- (\sin (2 x) x + x^{2} + \frac{\cos (2 x)}{2})$ comme $- 1 (\sin (2 x) x + x^{2} + \frac{\cos (2 x)}{2})$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{- 1 (\sin (2 x) x + x^{2} + \frac{\cos (2 x)}{2})}{4} + C$

Étape 16.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{x^{2}}{2} - \frac{\sin (2 x) x + x^{2} + \frac{\cos (2 x)}{2}}{4} + C$

Étape 16.8

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \frac{\sin (2 x) x + x^{2} + \frac{\cos (2 x)}{2}}{4}$ .

$\frac{x^{2}}{2} - \frac{x \sin (2 x) + x^{2} + \frac{\cos (2 x)}{2}}{4} + C$

Étape 16.9

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{4} (x \sin (2 x) + x^{2} + \frac{1}{2} \cos (2 x)) + C$

Étape 17

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = x \sin^{2} (x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{4} (x \sin (2 x) + x^{2} + \frac{1}{2} \cos (2 x)) + C$