Calcul infinitésimal Exemples

$y' = 2 x y$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle.

$\frac{d y}{d x} = 2 x y$

Étape 2

Séparez les variables.

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Étape 2.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (2 x y)$

Étape 2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{y} (x y)$

Étape 2.2.2

Associez $2$ et $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} (x y)$

Étape 2.2.3

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 2.2.3.1

Factorisez $y$ à partir de $x y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} (y x)$

Étape 2.2.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} (y x)$

Étape 2.2.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 2 x$

Étape 2.3

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{y} d y = 2 x d x$

Étape 3

Intégrez les deux côtés.

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Étape 3.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y} d y = \int 2 x d x$

Étape 3.2

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 2 x d x$

Étape 3.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int x d x$

Étape 3.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Étape 3.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.3.3.1

Réécrivez $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ comme $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Étape 3.3.3.2

Simplifiez

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Étape 3.3.3.2.1

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

Étape 3.3.3.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

Étape 3.3.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (| y |) + C_{1} = 1 x^{2} + C_{2}$

Étape 3.3.3.2.3

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x^{2} + C_{2}$

Étape 3.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| y |) = x^{2} + C$

Étape 4

Résolvez $y$ .

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Étape 4.1

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| y |)} = e^{x^{2} + C}$

Étape 4.2

Réécrivez $\ln (| y |) = x^{2} + C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{x^{2} + C} = | y |$

Étape 4.3

Résolvez $y$ .

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Étape 4.3.1

Réécrivez l’équation comme $| y | = e^{x^{2} + C}$ .

$| y | = e^{x^{2} + C}$

Étape 4.3.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{x^{2} + C}$

Étape 5

Regroupez les termes constants.

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Étape 5.1

Réécrivez $e^{x^{2} + C}$ comme $e^{x^{2}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{x^{2}} e^{C}$

Étape 5.2

Remettez dans l’ordre $e^{x^{2}}$ et $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{x^{2}}$

Étape 5.3

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = C e^{x^{2}}$